B.4 COMPITO D'ESAME 4 Febbraio 2002

Esercizio Dato il sistema dinamico continuo lineare in ${\cal R}^3$:

$$\frac{d{X}}{d{t}}= \left[\begin{array}{ccc} {-2}&{\phantom{-}... ...hantom{-}1}\\ {\phantom{-}0}&{-1}&{-1}\end{array}\right] \; X$$

a) scrivere esplicitamente tutte le orbite in funzione delle condizioni iniziali;

b) l'origine è stabile?

c) trovare quali condizioni iniziali danno luogo ad orbite con l'origine come limite per $t\to +\infty$.

(Soluzione)

Esercizio Si consideri il moto di un punto materiale di massa $m$ vincolato alla curva $z=f(r)=r^4-2r^2$ che venga fatta ruotare attorno all'asse verticale che passa per $r=0$ con velocità angolare fissa $\omega$, soggetto ad un'accelerazione di gravità costante verso il basso e di intensità $g$.

a) Scrivere le equazioni parametriche del moto, in funzione della coordinata $r\in {\bf R}$ e del tempo $t$.

b) Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Lagrange.

c) Calcolare la trasformazione di Legendre, scrivere la funzione Hamiltoniana (in funzione del momento $p$ e della coordinata $r$).

c) Trovare i punti di equilibrio e studiarne la stabilità, in funzione del parametro $\omega^2/4\,g$.

d) Tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni (o nel piano $(r, \dot r)$ o in quello $(p, r)$).

e) La funzione Hamiltoniana è l'energia del sistema? Se no, calcolare la potenza del motore che fa girare il sistema.

(Soluzione)