C.1 Soluzioni del capitolo 1

ESERCIZIO 1.1 Ci si può ricondurre ad alcuni dei casi precedenti tramite la trasformazione $t\mapsto -t$.

$$\begin{eqnarray*}a<0\; , \; b<0 \;,\;(x_0,y_0)\neq (0,0)&\Rightarrow &\lim\limit... ...neq0 &\Rightarrow &\lim\limits_{t\to-\infty}(x(t),y(t))=\infty\\ \end{eqnarray*}$$

ESERCIZIO 1.2 Nei termini dell'esempio, $g(x)=1+x^2$. Se esiste una soluzione $x(t)$ su di un intervallo $I\subseteq{\bf R}$, in ogni sottointervallo $I_M\subseteq I$ di monotonia di $x$ esiste l'inversa $t(x)$; poiché $g(x)$ è sempre $>0$, $I_M=I$ e vale

$$\frac{d{t}}{d{x}} = \frac{1}{1+x^2} \Longrightarrow t(x)=\arctan(x)+\alpha$$

dove $\alpha$ è una costante arbitraria. Quindi $x(t)=\tan(t-\alpha)$ per $t\in(\alpha-\pi/2,\alpha+\pi/2)$. $\alpha$ è determinata dalla condizione iniziale: $0=t(x_0)=\arctan(x_0)+\alpha$ implica $\alpha=-arctan(x_0)$. Il sistema dinamico non ha perciò soluzioni definite per ogni $t\in {\bf R}$, ma ha soluzione per ogni dato iniziale $x(0)=x_0$.

ESERCIZIO 1.3 Come nell'esercizio precedente, $g(x)\neq 0$ e $t(x)=\int\limits (1+x^2) \,d x=x+\frac{x^3}3+\alpha$, funzione bigettiva da ${\bf R}$ in ${\bf R}$. Dunque il sistema ammette soluzioni definite su tutto ${\bf R}$, per ogni condizione iniziale $x_0$.