C.2 Soluzioni del capitolo 2

ESERCIZIO 2.1

1. Da $A^2=I$ segue
   
   $$A^{2n}=I\;,\; A^{2n+1}=A\;,$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*}X(t)&=&\sum\limits_{n=0}^\infty \left [\frac{A^{2n}t^{2n}}{(2n)... ...c}{0}&{\sinh(t)}\\ {\sinh(t)}&{0}\end{array}\right]\right )X_0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   

2. Poiché la matrice è diagonale:,
   
   $$X(t)=\left[\begin{array}{cc}{e^t}&{0}\\ {0}&{e^{-t}}\end{array}\right]X_0$$
   
   

3. Calcolando le potenze successive di $A$ si ottiene
   
   $$A^2=\left[\begin{array}{ccc} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\end{array}\right] \;,\;A^3={\underline{\underline 0}}\;,$$
   
   
   da cui
   $$\begin{eqnarray*}X(t)&=&\exp(At)X_0=\left (I+At+\frac12A^2t^2\right )X_0\\ &=&\l... ...\\ {x^0_2+x^0_1t}\\ {x_3^0+x_2^0t+x_1^0 t^2/2}\end{array}\right] \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   

ESERCIZIO 2.2 Dal punto di vista algebrico, si possono facilmente calcolare coefficienti $a,b,c,d$ tali che

$$\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {c}&{d}\end{array}\right]\... ...begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {c}&{d}\end{array}\right]\neq 0\;,$$

ossia

$$\left[\begin{array}{cc}{b}&{a}\\ {d}&{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {-c}&{-d}\end{array}\right]$$

con soluzione $a=b$, $c=-d$, $ad\neq0$; la matrice del cambiamento di base è del tipo $\left[\begin{array}{cc}{a}&{a}\\ {-d}&{d}\end{array}\right]$ con $a$ e $d$ non nulli.
In questo caso, il passaggio di coordinate cercato può essere dedotto anche geometricamente. L'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $A$ scambia i vettori $E_1$ e $E_2$ della vecchia base: è una simmetria rispetto alla loro bisettrice, i cui vettori $\alpha(E_1+E_2),\; \alpha\in {\bf R}$ sono lasciati fissi. Rispetto ad una nuova base con primo vettore $F_1$ sull'asse di simmetria e secondo vettore $F_2$ ad esso ortogonale, l'applicazione si rappresenta con la matrice $A_1$, e la matrice $B$ del cambiamento di base è l'inversa di quella avente per colonne $F_1$ ed $F_2$:

$$B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\alpha}&{-\beta}\\ {\alpha}&{\beta}\end{array}\right]\;,$$

ovvero

$$B=\frac1{2\alpha\beta}\left[\begin{array}{cc}{\beta}&{\beta}\\ {-\alpha}&{\alpha}\end{array}\right]\;,$$

come ottenuto algebricamente.

ESERCIZIO 2.3 Gli autovalori ed autovettori di $A$ sono:

$$\lambda_1=2+\sqrt{3} \hspace{5mm},\hspace{5mm}V_1=\left[\begin{array}{c}{1}\\ {(1+\sqrt{3})/2}\end{array}\right]$$

$$\lambda_2=2-\sqrt{3} \hspace{5mm},\hspace{5mm}V_2=\left[\begin{array}{c}{-1-\sqrt{3}}\\ {1}\end{array}\right]$$

$$X(t)=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1-\sqrt{3}}\\ {(1+\sqrt{3... ...ight]\; \left[\begin{array}{c}{u_0}\\ {v_0}\end{array}\right]$$

con

$$\left[\begin{array}{c}{x_0}\\ {y_0}\end{array}\right]=\left... ...ight]\; \left[\begin{array}{c}{u_0}\\ {v_0}\end{array}\right]$$

ESERCIZIO 2.4 Autovalori e autovettori

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \lambda_1} & {\dis... ...-5 \hspace{5mm},\hspace{5mm}V_2=(1, -1)^T} \end{array}\right.$$

e con $V=[V_1, V_2]$

$$V^{-1}\; A \; V= \left[\begin{array}{cc}{-2}&{\phantom{-}0}\\ {\phantom{-}0}&{-5}\end{array}\right]$$

per cui

$$\exp(At)= V\; \left[\begin{array}{cc}{e^{-2t}}&{0}\\ {0}&{e... ... {-e^{-2t}+e^{-5t}}&{-e^{-2t}+4e^{-5t}}\end{array}\right] \ .$$

PROBLEMA 2.5 Se in ogni punto $P=OX(t)$ il vettor tangente alla curva $\dot X(t)$ è proporzionale ad un vettore ottenuto ruotando $OP$ dell'angolo orientato $\omega$, la curva $t\mapsto X(t)$ è soluzione del sistema dinamico

$$\dot X=AX\;,\;\mbox{ con } A=\alpha\left[\begin{array}{cc}{\c... ...\sin\omega}\\ {\sin\omega}&{\cos\omega}\end{array}\right]\ .$$

Gli autovalori di $A$ ( $A=\alpha\,\cos\omega\,I+\alpha\,\sin\omega\,J$) sono complessi: $\lambda_\pm=\alpha\,(\cos\omega\pm i\sin\omega)$, ed $A$ è già in forma canonica. Quindi per ogni punto $X_0$ del piano passa una curva

$$X(t)=e^{At}X_0=e^{(\alpha\cos\omega)t} \left[\begin{array}{cc... ...omega)t]}&{\cos[(\alpha\sin\omega)t]}\end{array}\right]\,X_0\ .$$

Le traiettorie sono, in genere, spirali intorno al fuoco $(0,0)$: l'unico caso in cui sono limitate è quello in cui $\omega=\pm\frac\pi2$, allorché

$$X(t)=\left[\begin{array}{cc}{\cos(\alpha t)}&{\mp\sin(\alpha t)}\\ {\pm\sin(\alpha t)}&{\cos(\alpha t)}\end{array}\right]X_0$$

descrive delle circonferenze centrate nell'origine.
Per $\omega\in(-\frac\pi2,0)$ le spirali si allargano in senso antiorario, per $\omega\in(0,\frac\pi2)$ in senso orario (secondo il segno di $\sin\omega$); per $\vert\omega\vert>\pi/2$ le spirali si stringono verso l'origine, infine per $\omega=\pm\pi$ risulta $X(t)=e^{-\alpha t}X_0$, con traiettorie rettilinee uscenti dall'origine.

ESERCIZIO 2.6

$$V=\left[\begin{array}{cc}{\sqrt{3/2}}&{0}\\ {0}&{1}\end{arr... ...array}{cc}{2}&{-\sqrt{6}}\\ {\sqrt{6}}&{2}\end{array}\right]$$

$$\exp(At)=V \; e^{2t}\; \left[\begin{array}{cc}{\cos(\sqrt{6}t... ...{\sin(\sqrt{6}t)}&{\cos(\sqrt{6}t)}\end{array}\right]\; V^{-1}$$

ESERCIZIO 2.7 Sommario dei calcoli:

$$V^{-1}\; A \; V= D=\left[\begin{array}{ccc} {-1}&{0}&{0}\\ {0... ...{1}&{-1}&{1}\\ {1}&{0}&{-1}\\ {0}&{1}&{0}\end{array}\right]\;,$$

$$e^{Dt}=\left[\begin{array}{ccc} {e^{-t}}&{0}&{0}\\ {0}&{e^{4t... ...}\\ {0}&{e^{4t}\sin(3t)}&{e^{4t}\cos(3t)}\end{array}\right]\;.$$

Le condizioni iniziali con $\underline 0$ come limite per $t\to +\infty$ sono quelle parallele a $V_1$, quelle con limite $\underline 0$ per $t\to -\infty$ sono combinazioni lineari di $V_2$ e $V_3$, dove $V_j$ sono le colonne della matrice $V$.

ESERCIZIO 2.8 $Q^3$ ha diversi da zero solo quelli di posto $(i+3,i)$, se esistono; e così via. Quindi nell'esponenziale il coefficiente di posto $(i+m,i)$ sarà $t^m/m!$; sulla diagonale $1$ e sopra la diagonale principale $0$.

ESERCIZIO 2.9 Risulta $A=V^{-1}\,D\,V$, con

$$D=\left[\begin{array}{cc}{-3}&{0}\\ {1}&{-3}\end{array}\rig... ...egin{array}{cc}{-1/2}&{-1}\\ {-1/4}&{0}\end{array}\right]\;.$$

Nelle coordinate $(y_1,y_2)$, relative alla base della forma canonica, le orbite sono

$$\left[\begin{array}{c}{y_1(t)}\\ {y_2(t)}\end{array}\right]... ...\left[\begin{array}{c}{y_1^0}\\ {y_2^0}\end{array}\right]\;,$$

ESERCIZIO 2.10 Resta da vedere quali valori possono assumere $a_{12}$ e $a_{21}$, dato che $\det A=0\Rightarrow a_{12}a_{21}=-a_{11}^2$. Se $a_{11}=a\neq0$, anche $a_{12}=b\neq0$, $a_{21}=-\frac{a^2}{b}$ e

$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {-\frac{a^2}{b}}&{-a}\end{array}\right]\ ;$$

se $a_{11}=0$, le ulteriori possibilità sono

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{b}\\ {0}&{0}\end{array}\right... ...y}{cc}{0}&{0}\\ {b}&{0}\end{array}\right]\;,\;b\in{\bf R}\;.$$

ESERCIZIO 2.11 Se è vero che $A$ ha un solo autovalore $\lambda_0$, la matrice $A-\lambda_0\,I$ ha solo l'autovalore $0$ e quindi ha traccia nulla: $Tr(A-\lambda_0 I)=8-4 \lambda_0=0\Rightarrow \lambda_0=2$.
La forma canonica $D$ di $A$ ha $n$ blocchi di Jordan, dove $n$ è la dimensione del $\ker(A-2I)$. Dallo studio della caratteristica di

$$(A-2I)= \left [\begin{array}{cccc} -2&-1&0&2\\ 6&4&2&-6\\ -3&-2&-1&3\\ 1&1&1&-1 \end{array}\right ]$$

risulta $n=2$ (la seconda riga è multipla della terza, la prima è somma della terza e della quarta, linearmente indipendenti).
Poiché $(A-2I)^2=0$, entrambi i blocchi hanno ordine $2$: in tal caso è facile determinare esplicitamente una base per i blocchi nilpotenti. Se infatti $V_1\not\in\ker(A-2I)$, $V_2=(A-2I)\,V_2$ è indipendente da $V_1$ e $(A-2I)V_2=(A-2I)^2V_1=0$, e se (analogamente) si sceglie un $V_3\not\in\ker(A-2I)$ indipendente da $V_1$ anche $V_4=(A-2I)V_3$ è tale che $(A-2I)^2V_4=0$; per esempio, se

$$V_1=\left [\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right ]\;... ...;V_4=\left [\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\\ 1\end{array}\right ]$$

la forma canonica $D$ di $A$ rispetto a $\{V_1,V_2,V_3,V_4\}$ e la matrice $B$ del cambiamento di base sono

$$D= \left [\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\ 1&2&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0... ...0&-1&-1\\ 0&0&-1&-2\\ 0&1&2&0\\ 0&0&1&3 \end{array}\right ]\;.$$

Calcolando $\exp(Dt)$ si ottiene il flusso integrale:

$$X(t)=B^{-1}\left [\begin{array}{cccc} 2e^{2t}&0&0&0\\ te^{2t}... ...0&0&2e^{2t}&0\\ 0&0&te^{2t}&2e^{2t} \end{array}\right ]BX_0\;.$$

Le traiettorie tendono all'infinito per $t\to\infty$, e all'origine per $t\to -\infty$, per qualunque punto iniziale $X_0$.