Sommario Questa appendice presenta questo libro di testo, spiegandone le principale scelte culturali e didattiche, e le modalità di lettura, comprese quelle di tipo ipertestuale.
Questo libro di testo è stato costruito - come normalmente avviene - per un'occasione didattica specifica; in questo caso il corso di Meccanica Razionale del Biennio Sperimentale di Matematica dell'Università di Pisa. Tuttavia abbiamo ragione di ritenere che possa essere impiegato anche in circostanze e con modalità molto diverse.
Il suo argomento - Sistemi Dinamici - è utile anche per studenti di altri corsi di laurea e di diploma, nonché per la formazione permanente. Lo sforzo particolare che abbiamo fatto nella realizzazione non solo di un sofisticato sistema di indici, ma nella creazione di una vera e propria struttura ipertestuale, lo rende particolarmente indicato per la formazione autonoma o a distanza.
Nelle sezioni seguenti si illustrano questi due aspetti: i contenuti innovativi ed il metodo didattico originale, basato anche sull'impiego di nuove tecnologie.
La scelta culturale fondamentale è stata quella di focalizzare il corso sulla teoria dei sistemi dinamici, intesa nella sua generalità. I corsi tradizionali di Meccanica Razionale contengono quasi esclusivamente una trattazione dei sistemi dinamici conservativi, nella forma lagrangiana e/o hamiltoniana, e soltanto nel caso di sistemi dinamici con dipendenza continua dal tempo. Il caso non conservativo viene lasciato cadere, o magari dato per scontato, sulla base di una trattazione molto poco approfondita svolta nei corsi di Analisi Matematica. Il caso dei sistemi dinamici discreti viene poi del tutto trascurato, magari con la scusa che esso possa venire trattato nei corsi di Calcolo Numerico.
Al contrario, la comprensione del comportamento qualitativo dei casi dissipativi è concettualmente importante, e rilevante anche in molte applicazioni. Quanto ai sistemi dinamici discreti, la loro importanza discende dalle simulazioni numeriche (uno strumento che è ormai ridicolo ignorare) e dall'uso intenso che se ne fa sia nella ricerca che nella modellizzazione.
Un'altra scelta che abbiamo ritenuto opportuno rifiutare è quella dell'impostazione principale - quella con cui si abituano veramente gli studenti a risolvere i problemi e a svolgere gli esercizi - delle equazioni dei sistemi conservativi. Il punto di vista lagrangiano e quello hamiltoniano sono entrambi necessari, e la trasformata di Legendre - che converte l'uno nell'altro - uno dei concetti base da insegnare subito.
Altre scelte significative che abbiamo fatto: abbiamo trattato in modo completo i sistemi dinamici lineari; abbiamo affiancato alla trattazione del corpo rigido quella del problema dei due corpi, con una prima introduzione alle applicazioni astrodinamiche; abbiamo incluso delle presentazioni, sia pure a carattere solo informativo, delle nozioni moderne di integrabilità, non integrabilità e caos. Sull'ordinamento degli argomenti, e sulle scelte di metodo nella presentazione, si noti la completa trattazione della meccanica ad un grado di libertà prima di passare a più gradi di libertà.
Vale la pena di sottolineare che queste scelte hanno anche un altro vantaggio estrinseco: il programma contenuto in questo libro non è strettamente legato alla logica del corso di laurea in Matematica, e neppure necessariamente di un corso di laurea, trattandosi di argomenti di interesse generale, che sono necessari ad un vasto gruppo di scienziati e di tecnici. Se riusciamo ad ottenere un libro di testo che sia veramente efficace, anche nei processi di autoapprendimento - lo giudicheranno i lettori - riusciamo anche a rivolgerci ad un pubblico potenziale molto più vasto di quello degli studenti del secondo anno del corso di laurea in Matematica.
Una delle difficoltà maggiori nel definire un programma di Meccanica deriva dalla lunghissima lista di prerequisiti. La maggior parte del programma solitamente svolto nei corsi di Analisi Matematica II (a Matematica, anche di Geometria II) viene utilizzata come strumento effettivo, sia concettuale che di calcolo. Per esempio, basta pensare a risultati concettualmente basilari come il teorema delle funzioni implicite e la conseguente definizione di varietà (o almeno di superficie), la teoria delle forme differenziali esatte, il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema di compattezza dei limitati e chiusi; ma anche a strumenti di uso pratico nella risoluzione di problemi, come lo studio di funzioni di due variabili, la diagonalizzazione delle forme quadratiche e la forma canonica di Jordan delle matrici non simmetriche.
Se si dovesse attendere che ciascuno di questi contenuti sia spiegato negli altri corsi, ed assimilato dagli studenti, bisognerebbe cominciare Meccanica dopo la fine degli altri corsi del primo biennio. Questo sarebbe sbagliato non solo perché stroncherebbe lo studio della Fisica Matematica, della Meccanica Celeste e di molte altre materie collegate, ma perché renderebbe molto difficile agli studenti cogliere le connessioni tra materie. Il fatto di usare strumenti insegnati da altre discipline, sia nella teoria che nella pratica della soluzione di problemi, è il grande pregio del corso di Meccanica; per questa ragione questo corso è indispensabile al secondo anno, e non certo per i soli studenti che vogliano specializzarsi su argomenti collegati.
Di fronte a questa difficoltà bisogna evitare tre diversi errori:
Noi riteniamo dover di rivendicare l'autonomia culturale, la dignità matematica ed il rigore logico della Meccanica, anche nell'insegnamento del secondo anno. Questo è possibile solo se la scelta di contenuti non banali - ben più avanzati di quelli della Fisica del primo anno, e non troppo lontani dalle frontiere moderne della dinamica - si accompagna ad una chiara enunciazione dei requisiti provenienti dalle altre materie.
Questo modo di pensare è riflesso in questo testo nelle appendici, che contengono una lista dei requisiti provenienti dagli altri corsi del secondo anno (non sono citati i contenuti, dati per scontati, dei corsi del primo anno, come il calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile o l'algebra lineare elementare). Questa lista è distinta in due parti:
La funzione delle appendici è quella di glossario, o strumenti di consultazione; per questo uso è essenziale la struttura ipertestuale, descritta nelle sezioni seguenti.
L'uso di ipertesti come strumento di apprendimento è ormai comune: l'autoistruzione, o l'insegnamento a distanza, sono le applicazioni più ovvie. Ma è importante non dimenticare che tutte le forme di insegnamento richiedono una fase di studio autonomo; talvolta l'insistenza sull'insegnamento intensivo, che è di moda nell'Università italiana, fa dimenticare la necessità basilare del tempo che lo studente deve passare da solo davanti ad un libro di testo. Si tratta ora di capire se il modo in cui lo studente medio (orribile astrazione) fruisce del libro di testo, è fondamentalmente sequenziale o ipertestuale.
La nostra opinione è che, per quanto la tecnologia ipertestuale sia relativamente recente, il modo corretto di studiare la matematica sia sempre stato ipertestuale. Leggere un trattato di matematica dalla prima all'ultima pagina, come se fosse un romanzo, è del tutto inutile (almeno per gli studenti; può servire come primo approccio ad un esperto ricercatore). In un testo di matematica occorre andare avanti solo dopo aver capito, e per capire occorre ricordare tutte le definizioni e risultati citati nella pagina corrente. Ma questo richiede, nella fase di apprendimento, un continuo richiamo di parti del testo che non sono nella stessa pagina, neppure nello stesso capitolo.
Per questa ragione noi congetturiamo che l'apprendimento possa essere considerevolmente aiutato da strumenti che facilitino il modo di lettura ipertestuale. Il requisito per poter almeno testare questa ipotesi è di avere un libro di testo con strumenti di accesso ipertestuali, dove i legami corrispondano almeno ai richiami all'indietro alle definizioni e teoremi dentro lo stesso testo. Ma è chiaro che i legami ipertestuali possono anche puntare in avanti, nel caso di concetti che vengono introdotti in una forma non completa per essere poi rivisti; o addirittura a concetti che appartengono ad altri corsi, e che quindi sono elencati in appendice, come discusso sopra.
Con l'espressione strumenti di accesso ipertestuali non intendiamo riferirci all'una o l'altra particolare tecnologia; il legame ipertestuale è prima di tutto un fatto concettuale, che fa parte del contenuto (non della forma) dell'ipertesto. Quanto alla forma, anche il tradizionale indice analitico è uno strumento di accesso ipertestuale, anche se poco efficiente. Abbiamo pensato che l'uso di note a margine, contenenti il simbolo della freccia ad indicare il legame e la pagina del testo legato, possa aumentare di molto l'efficienza nel seguire le connessioni ipertestuali. Tuttavia ci siamo posti il problema di produrre anche un ipertesto fruibile mediante le più moderne tecnologie informatiche.
La tecnologia usata nello sviluppo di questo testo è stata condizionata dall'esigenza di creare simultaneamente due prodotti: un libro di testo ``su carta'', stampato secondo le regole dell'arte tipografica, ed un ipertesto accessibile mediante browser di uso comune.
La scelta è caduta innanzitutto sul sistema di composizione tipografica TeX (di D. Knuth), che consente la produzione di testi contenenti formule, ad un livello elevatissimo di qualità tipografica. Si noti che questo linguaggio, ormai affermato nell'editoria scientifica anche commerciale, è interamente di pubblico dominio.
La seconda scelta chiave è stata quella di adeguarsi allo HyperText Markup Language (HTML), lo standard della comunicazione ipertestuale su Internet, in particolare attraverso l'interfaccia nota con il nome di World Wide Web (WWW). I browser capaci di presentare degli ipertesti HTML sullo schermo di qualsiasi computer (anche modesti personal) sono largamente disponibili. Ma quello che forse più conta è che l'esperienza della navigazione su Internet, soprattutto tramite l'interfaccia WWW, non è più una prerogativa di pochi scienziati, ma una parte dell'esperienza comune specialmente dei giovani. Il vantaggio principale sta quindi nel non sprecare tempo (né noi, né gli studenti) nell'apprendere le particolarità di un'interfaccia multimediale valida solo per i prodotti di una singola ditta. È anche utile che l'ipertesto sia composto in un formato abbastanza standard da poter essere `portato a casa' su di un dischetto leggibile dai PC più comuni.
Il terzo punto chiave è la necessità di non separare i due prodotti - libro cartaceo ed ipertesto - dal punto di vista della produzione e dell'aggiornamento. Occorre che noi scriviamo - e, nello scrivere, correggiamo e aggiorniamo continuamente - una sola ``sorgente'' capace di generare sia lo stampato che l'ipertesto in formato HTML. Produrre due sorgenti diverse non può che risultare in un prodotto di bassa qualità, segnato dagli errori e dalle inconsistenze inevitabili.
Trovare una soluzione con tutti questi requisiti non è stato semplice, e forse avremmo potuto attendere che strumenti più comodi emergessero dall'impetuoso sviluppo che è in corso in questa tecnologia. D'altro canto se non si cominciano ad utilizzare le nuove tecnologie - se si aspetta che siano ``mature'' - si corre sempre il rischio di restare indietro. I risultati del nostro sforzo sono comunque buoni, nel senso che il testo che abbiamo prodotto soddisfa in pieno a tutti i requisiti enunciati qui sopra, e la sua fruizione è efficiente.
Prima di tutto abbiamo usato LaTeX (di L. Lamport), un'estensione del TeX progettata per aiutare gli autori nella composizione dei propri prodotti editoriali. Poi abbiamo sfruttato il fatto, che forse non è tanto noto, che TeX e LaTeX non sono solo linguaggi tipografici, ma sono a tutti gli effetti dei linguaggi di programmazione. Abbiamo quindi scritto dei veri e propri programmi in LaTeX allo scopo di gestire i legami ipertestuali sul testo stampato, in modo che ogni legame in entrata ed in uscita da una data pagina sia rappresentato a margine da una freccia, con numeri e lettere che consentono di identificare il termine `legato' o da `legare'. Abbiamo inoltre utilizzato strumenti di gestione degli indici come il pacchetto Makeindex.
Quindi abbiamo processato gli stessi file sorgente LaTeX usando Latex2Html, un programma scritto in Perl da Nikos Drakos, che converte il LaTeX in HTML, comprese le formule matematiche. La trasformazione è tutt'altro che semplice, perché non esiste ancora uno standard HTML che descriva la codifica delle espressioni matematiche negli ipertesti. Il metodo usato da Nikos Drakos consiste nel convertire in immagini tutte le formule troppo complicate per essere trasmesse tramite lo standard HTML già in vigore, per mezzo di utilità di conversione disponibili (TeX stesso, Dvips, netpbm). La conversione compiuta da Latex2Html preserva i legami ipertestuali, che possono essere immessi nel testo LaTeX utilizzando delle apposite macro definite da Drakos. Restava da costruire il legame tra le due strutture ipertestuali, quella rappresentata da frecce a margine della pagina e quella rappresentata dalle frasi attive e dai loro legami nell'HTML, mediante una opportuna programmazione in LaTeX (e qualche patch al programma di Drakos).
Combinando questo con l'uso dell'utilità Makeindex e con la capacità standard di indice per capitoli di LaTeX, si ottengono per lo stesso testo e con un'unica sorgente sei sistemi di indicizzazione, quindi sei modalità di accesso: (1) per ordine sequenziale e divisione in capitoli e sezioni, (2) per indice analitico dei termini, e (3) per legami ipertestuali, e questo per ciascuna delle due versioni, cartacea e WWW.
Data questa spiegazione sulle tecnologie, vale forse la pena di sottolineare che esse sono uno strumento di lavoro, non una bacchetta magica: in particolare nessuna tecnologia (disponibile nella nostra epoca) crea i legami ipertestuali che sono veramente utili alla comprensione del testo, specialmente in una disciplina difficile come la matematica. Sono pur sempre gli autori che devono pazientemente, pagina per pagina, definizione per definizione, cercare di ricostruire il processo mentale dell'apprendimento e segnare i legami che possono rendere più liscio questo processo. Non è possibile operare in modo automatico, per esempio legare in modo ipertestuale ogni occorrenza della stessa definizione, perché l'eccesso di legami crea rumore che ostacola l'uso dei legami più utili. Perciò, mentre la tecnologia automatizza il procedimento - per esempio verificando che non ci siano legami non risolti, o mal definiti - è la nostra personale esperienza didattica, e l'interazione con gli studenti (in questa ed in precedenti esperienze), che guidano la scelta di istruzioni di tipo ipertestuale; queste vengono poi scritte nel linguaggio dettato dalla tecnologia che abbiamo trovato e che abbiamo noi stessi contribuito a sviluppare.
Mentre il libro di testo stampato viene distribuito attraverso normali canali editoriali, la versione ipertestuale in HTML (con figure e formule in formato GIF) è accessibile via internet, per esempio usando un browser WWW con l'indirizzo URL (Universal Resource Locator)
http://copernico.dm.unipi.it/dinsis
mentre una copia da installare localmente può essere ottenuta, gratuitamente per le Università ed istituzioni culturali pubbliche, mandando una richiesta agli autori, per esempio per E-mail agli indirizzi
milani@dm.unipi.it oppure \ mazzini@dm.unipi.it
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