1.1 SISTEMI CONTINUI E DISCRETI

Sommario Un sistema dinamico esprime la variabilità di uno stato nel tempo. Lo stato è rappresentato da un punto in uno spazio vettoriale di dimensione n. Il tempo può essere rappresentato come continuo, $t\in {\bf R}$, oppure discreto, $t\in {\bf Z}$. Il sistema dinamico è la legge che esprime la variazione nel tempo, la sua soluzione è l'insieme delle orbite, in funzione delle condizioni iniziali.

Definizione:

Un sistema dinamico continuo in un aperto $W\subset{\bf R}^n$ è un'equazione differenziale ordinaria autonoma (con secondo membro indipendente dal tempo)

$$\frac{d{X}}{d{t}} = F(X)$$


dove $F$ è un campo vettoriale, cioè $F: W\longrightarrow {\bf R}^n$ con $F$ una funzione differenziabile (di classe $C^1$ almeno).

Un'orbita di un sistema dinamico continuo è una funzione $t \longmapsto X(t)$ della variabile continua $t\in {\bf R}$ a valori in $W$ che soddisfa identicamente, per ogni $t\in {\bf R}$, all'equazione differenziale, cioè se si sostituisce:


$$\frac{d{X}}{d{t}} (t)\equiv F(X(t)) .$$

Definizione:

Un sistema non autonomo, cioè con secondi membri dipendenti anche dal tempo:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot X} & {\displ... ...& {\displaystyle=} &{\displaystyle X_0} \end{array}\right.\;,$$


con $F:{\bf R}^{n+1}\to R$ può essere ridotto, per omogeneizzazione delle variabili, ad un sistema autonomo di dimensione superiore, ponendo

$$Y=\left[\begin{array}{c}{t}\\ {X}\end{array}\right]\hspace... ...}={\left[\begin{array}{c}{t_0}\\ {X_0}\end{array}\right]}\;.$$


cioè trattando $t$ come un'altra variabile dinamica (con derivata 1).

Definizione:

Un sistema dinamico discreto in $W\subset{\bf R}^n$ è un'applicazione di $W$ in sé:

$$f: W \longrightarrow W$$


con $f$ una mappa o diffeomorfismo cioè una funzione differenziabile con inversa differenziabile (di classe $C^1$ almeno).

Un'orbita di un sistema dinamico discreto è una funzione $k \longmapsto X_k$ della variabile discreta $k\in {\bf Z}$ a valori in $W$ che soddisfa, per ogni $k\in {\bf Z}$:


$$X_{k+1}=f(X_k)\;.$$

Il sistema dinamico è definito dalla legge che governa il cambiamento, cioè dal campo vettoriale $F$ o dalla mappa $f$, non dalle orbite, anche se ovviamente date tutte le orbite si può ricostruire il sistema dinamico; viceversa non è in generale facile trovare tutte le orbite di un sistema dinamico dato.

Interpretare la variabile indipendente $t$ di un sistema dinamico continuo come tempo è abbastanza naturale, ma non è obbligatorio. Anche l'indice $k$ della successione che risolve un sistema dinamico discreto può indicare un tempo, sia inteso come approssimazione di un tempo continuo, sia perché lo stato ha senso solo a intervalli discreti di tempo (per esempio ogni giorno lavorativo nel caso di variabili economiche).

Si usa la parola soluzione per indicare una curva $X(t)$ che soddisfa all'equazione di un sistema dinamico continuo solo per valori di $t$ in un intervallo aperto. Non è detto a priori che un sistema dinamico continuo abbia soluzioni definite per ogni $t\in {\bf R}$, che quindi costituiscano delle orbite; una soluzione $X(t)$ (oppure $X_k$) potrebbe uscire da $W,$ o andare all'infinito, per $t$ finito (oppure $k$ finito). Le condizioni per cui ogni punto di $W$ appartiene ad un'orbita nel caso continuo saranno discusse nell'appendice A.5.

Nel caso discreto, poiché per definizione l'applicazione $f$ è iniettiva e surgettiva su $W$, per ogni $X_0\in W$ esiste un'orbita definita da:

$$X_k=f^k(X_0)\ \ ,\ \ k\in {\bf Z}\ .$$

Nelle ipotesi qui fatte ogni sistema dinamico è tale che, per ogni condizione iniziale $X_0$, l'orbita tale che $X(0)=X_0$ se esiste è unica. Questo è ovvio nel caso discreto, è invece un risultato significativo nel caso continuo, che sarà dimostrato nell'appendice A.5.