A.5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Esistenza e unicità

Definizione:

Sia $E$ uno spazio metrico, con distanza $d(X,Y)$, e sia $F\colon E_1\to E_1$ un'applicazione dello spazio in se stesso. Si dice che $F$ è una contrazione se esiste una costante $L$, con $0<L<1$, tale che per ogni $X,Y\in E$

$$d(F(X),F(Y))\le L\,d(X,Y)\ .$$

Definizione:

Sia $E$ uno spazio metrico, con distanza $d(X,Y)$. Una successione $\{X_k\}_{k\in{\bf N}}$ in $E$ si dice successione di Cauchy se per ogni $\epsilon>0$ esiste un intero $k$ tale che per ogni coppia di interi $m,n$ maggiori di $k$

$$d(X_m,X_n)<\epsilon \;.$$


Si dice che $E$ è uno spazio metrico completo se ogni successione di Cauchy è convergente.

Queste definizioni valgono sia per gli spazi a dimensione finita, come ${\bf R}^n$, sia per gli spazi di funzioni che hanno dimensione infinita, nel senso che sono spazi vettoriali ma non hanno un numero finito di generatori.

Esempio:

Come conseguenza del teorema di convergenza delle funzioni continue, per ogni insieme compatto $K\subset{\bf R}^n$, lo spazio delle funzioni continue su $K$ è completo rispetto alla norma della convergenza uniforme, cioè la distanza


$$d(F,G)=\sup\limits_{Y\in K}\left \vert F(Y) - G(Y) \right \vert\;.$$

Se l'applicazione $G$ è una contrazione di uno spazio metrico completo $E$, allora $G$ ha un unico punto unito, cioè esiste uno ed un solo $X\in E$ tale che $G(X)=X$.

Il punto unito (cioè fisso) è costruito per approssimazioni successive, come limite della successione $X_{n+1}=G(X_n)$ che, comunque sia scelto il punto iniziale $X_0$, converge nello spazio metrico completo $E$ in quanto successione di Cauchy.

Definizione:

Una funzione $F\;:\; \Omega \: \longrightarrow \;{\bf R}^k$ si dice lipschitziana su $\Omega\subset {\bf R}^n$ se esiste una costante $L>0$ tale che, per ogni coppia $X,Y$ di punti di $\Omega$:

$$\vert F(Y)-F(X)\vert\leq L \;\vert Y-X\vert\;.$$


Ogni numero $L$ che soddisfa a questa condizione si chiama costante di Lipschitz per la funzione $F$.

Una contrazione è una funzione lipschitziana di uno spazio in se stesso, con costante di Lipschitz $L<1$.

Una funzione lipschitziana è anche continua, anzi uniformemente continua, in quanto per ogni $\epsilon>0$ esiste un $\delta=\delta(\epsilon)$ tale che $\vert F(X)-F(Y)\vert\le\epsilon$ per ogni coppia $(X,Y)$ con $\vert X-Y\vert\le\delta$. Se $E\subset{\bf R}^n$, la lipschizianità nel punto $Y$ equivale alla limitatezza del rapporto incrementale nel punto $Y$ in direzione $X-Y$; si può mostrare che implica la differenziabilità in quasi tutti i punti di $E$ (cioè a meno di insiemi di misura nulla). Viceversa, ogni funzione $F$ differenziabile di classe $C^1$ su di un aperto $\Omega\subset {\bf R}^n$ è localmente lipschitziana, nel senso che la diseguaglianza di Lipschitz è soddisfatta in ogni aperto limitato $\Omega_0$ con chiusura contenuta in $\Omega$: la costante di Lipschitz non supera la somma dei massimi moduli di tutte le derivate parziali di $F$ sulla chiusura di $\Omega_0$.

Siano $\Omega\subset {\bf R}^n$ un aperto, $I\subset {\bf R}$ un intervallo e $F\colon\Omega\times I\to{\bf R}^n$ un campo vettoriale uniformemente lipschitziano nella prima variabile, ovvero tale che, per una costante $L_\Omega>0$,

$$\vert F(X,t)-F(Y,t)\vert\le L_\Omega\vert X-Y\vert \quad,\quad\forall X,Y\in{\bf R}^n$$

per ogni $t\in I$, con la costante $L$ indipendente da $t$. Allora se $X_0\in\Omega$ e $t_0\in I$, esistono un intorno $\Omega_0\subset\Omega$ di $X_0$ ed un intorno $I_0\subset I$ di $t_0$ tali che il problema alle condizioni iniziali

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot X} & {\displ... ...)} & {\displaystyle=} &{\displaystyle X_0} \end{array}\right.$$

ha soluzione unica.

La dimostrazione del teorema precedente è costruttiva: un'applicazione pratica è il ragionamento che conduce alla definizione di esponenziale di matrice. Il teorema delle contrazioni, infatti, mostra l'esistenza di un punto fisso dell'operatore $G\colon E\to E$, sullo spazio metrico completo $E$ delle funzioni continue, definito da

$$G(X(t))=X_0+\int\limits _{t_0}^t\,F(X(s),s)\,d\,{s}\;\ .$$

Allora il ``punto fisso'', cioè la funzione soluzione $X(t)$, è il limite della successione definita per ricorrenza da $X_{n+1}=G(X_n)$. In altre parole, alla soluzione del problema alle condizioni iniziali converge la successione di funzioni

$$X_{n+1}(t)=G(X_n(t))=X_0+\int\limits _{t_0}^t\,F(X_n(s),s)\,d\,{s}\;\quad,\quad n\in {\bf N}\;.$$

Maggiorazione delle soluzioni

Sia $f: I\to{\bf R}^+$ una funzione reale non negativa, definita su un aperto $I\subset {\bf R}$. Se la $f$ è dominata dal suo integrale, nel senso che per due costanti $\alpha\ge0$, $\beta\ge0$,

$$0\le f(t)\le\beta+\alpha\int\limits _{t_0}^t f(s)\,d\,{s}\;\quad,\quad t_0\in I\;,$$

allora è dominata, per ogni $t\in I$, da una funzione esponenziale:

$$f(t)\le \beta\,e^{\alpha (t-t_0)}\;.$$

Il teorema che segue applica la diseguaglianza di Gronwall per fornire dettagli precisi sulla dipendenza dai dati iniziali del flusso $\Phi_{t_0}^{t}(Y)$ di un sistema dinamico.

Siano $\Omega\subset {\bf R}^n$ un aperto, $I\subset {\bf R}$ un intervallo e $F\colon\Omega\times I\to{\bf R}^n$ un campo vettoriale uniformemente lipschitziano nella prima variabile, con costante di Lipschitz $L$. Se $Y(t)$ e $Z(t)$ sono soluzioni dell'equazione

$$\dot X(t)=F(X(t),t)\quad,\quad t\in[t_0,t_1]\subset I\;$$

passanti, rispettivamente, per $Y_0$ e $Z_0$ al tempo $t_0$, allora

$$\vert Y(t)-Z(t)\vert\le\vert Y_0-Z_0\vert e^{L(t-t_0)}\;.$$

La dipendenza delle soluzioni dalle condizioni iniziali è non solo continua, ma ha una costante di Lipschitz che può essere calcolata a partire dalla costante di Lipschitz del secondo membro, e che cresce esponenzialmente al crescere dell'intervallo di tempo. Si confronti con il teorema di convergenza del metodo di Eulero e con la definizione di esponente di Lyapounov.

Differenziabilità

Siano $\Omega\subset {\bf R}^n$ un aperto, $t_0\in I\subset {\bf R}$ e $F\colon\Omega\times I\to{\bf R}^n$ un campo vettoriale (anche dipendente dal tempo) di classe $\mbox{\rm C}^{1}$. Allora esiste un intorno di $(Y,t_0)$ in $\Omega\times I$ su cui il flusso integrale $\Phi_{t_0}^{t}(Y)$ dell'equazione differenziale

$$\dot X=F(X,t)$$

è una funzione $\mbox{\rm C}^{1}$ di tutte le variabili; inoltre esistono e sono continue le derivate miste del tipo

$$\frac{\partial^2 {\Phi_{t_0}^{t}(Y)}}{\partial {t}\,\partial{Y}}\;.$$

La matrice jacobiana $D_Y\Phi$ del flusso

$$D_Y\Phi \;\colon\ (t,Y)\mapsto\ \frac{\partial {}}{\partial {Y}}\Phi_{t_0}^{t}(Y)$$

è continua in un intorno di $(Y,t_0)$; essa definisce il flusso integrale dell'equazione alle variazioni

$$\frac{d{}}{d{t}} Z(t)=A(Y,t)Z(t)\quad,\quad \mbox{con }A(Y,t... ...rtial {F}}{\partial {X}} \left (\Phi_{t_0}^{t}(Y),t\right )\;.$$

Continuazione delle soluzioni

Siano $\Omega\subset {\bf R}^n$ un aperto, $I$ un intervallo, $F\colon\Omega\times I\to{\bf R}^n$ un campo vettoriale uniformemente lipschitziano nella prima variabile e $X_0$ una condizione iniziale in $\Omega$. Per il problema alle condizioni iniziali

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot X(t)} & {\di... ...)} & {\displaystyle=} &{\displaystyle X_0} \end{array}\right.$$

valgono le seguenti affermazioni:

• se due soluzioni continue $X_j(t)$ ($j=1,2$) del problema sono definite sullo stesso intervallo $I_1\subset I$ contenente $t_0$, esse coincidono su $I_1$;

• esiste un intervallo massimale $J\subset I$ contenente $t_0$, sul quale è definita la soluzione $X(t)$ del problema (nel senso che gli intervalli nei quali sono definite le soluzioni locali del problema sono contenuti in $J$);

• nell'intorno di ogni estremo finito dell'intervallo massimale la soluzione esce da qualunque compatto contenuto in $\Omega$ (se la soluzione è limitata allora tende alla frontiera di $\Omega$).

Se il sistema dinamico è autonomo, cioè $\dot X(t)=F(X(t))$, per ogni condizione iniziale $X_0$ l'ampiezza dell'intervallo massimale $I_0$ della soluzione $X(t)=\Phi_{t_0}^{t}(X_0)$ non dipende dall'istante iniziale.

Proprietà di composizione del flusso integrale

Consideriamo il flusso integrale di un sistema dinamico

$$\Phi^t: X_0\longmapsto X(t)$$

che per i teoremi di questa sezione è definito per $t$ su di un intervallo massimale $I(X_0)$ che contiene $0$ all'interno e può variare con $X_0$. Inoltre, se per un certo $t$ il flusso $\Phi^t$ è definito in ogni punto di un aperto $\Omega$, allora la sua restrizione a $\Omega$ è un omeomorfismo e anche un diffeomorfismo.

Per $t=0$ $\Phi^0(X_0)=X_0$, cioè $\Phi^0=Id$ (identità). Laddove il flusso è definito, vale la proprietà di composizione

$$\Phi^t\circ \Phi^s=\Phi^{t+s}$$

e la sua conseguenza

$$\Phi^{-t}\circ \Phi^t= \Phi^0= Id\ \Longrightarrow\ \Phi^{-t}=\left[\Phi^t\right]^{-1}\ .$$

Nel caso di un'equazione differenziale non autonoma si può comunque definire un flusso integrale

$$\Phi^t_{t_0} \ : \ X(t_0) \ \longmapsto X(t)$$

le cui proprietà di composizione sono un poco più complicate da scrivere, ma si possono dedurre da quelle del caso autonomo applicando il procedimento di omogeneizzazione.

Bibliografia :

-

Hirsch, M. W. e Smale, S. : Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

-

Lefschetz, S. : Differential equations, geometric theory, second edition, Dover Publications, 1977.