6.5 DEFINIZIONI DI CAOS

Sommario Diverse definizioni di caos sono state proposte, e ciascuna ha i suoi meriti; per esempio quella basata sugli esponenti di Lyapounov. Nessuna però sembra capace sia di descrivere in modo rigoroso alcune caratteristiche fondamentali del moto caotico, sia dare luogo a risultati che consentano di descrivere esplicitamente ampie regioni caotiche. Trovare una definizione di caos pienamente soddisfacente resta quindi un problema aperto.

Esponenti di Lyapounov

Dato un sistema dinamico discreto $S$ su ${\bf R}^2$ (oppure ${\bf T}^2$), data una condizione iniziale $X^{(0)}$, e la sua orbita $X^{(k)}=S^k(X^{(0)}), k\in {\bf Z}$, possiamo considerare il linearizzato di $S$ dato dalla matrice $A(X)=DS(X)$ e il linearizzato di ciascuna iterazione della mappa:

$$A^{(k)}(X^{(0)})=DS^k(X^{(0)})=A(X^{(k-1)})\, A(X^{(k-2)})\ldots A(X^{(2)})\, A(X^{(1)})\, A(X^{(0)})\ .$$

(Si noti che $A^{(k)}(X)\neq A^k(X)$, non è una potenza di matrice). Dato un vettore $V$ applicato in un punto $X$, cioè considerato come una variazione infinitesima della condizione iniziale, possiamo considerarne le immagini mediante le linearizzazioni delle mappe iterate $V,\ A(X)\,V,\ A^{(2)}(X)\,V\, \ldots\ , A^{(k)}(X)\,V,\ \ldots$ e studiare l'andamento con $k$ della lunghezza di questi vettori. Nel caso per esempio che $X$ sia un punto fisso iperbolico, con autovalori reali $0<\lambda_1<1< \lambda_2$, se $V=V_1$ autovettore corrispondente a $\lambda_1$ si avrà

$$\lim_{k\to +\infty} \left\vert A^{(k)}(X)\,V_1\right\vert = \lim_{k\to +\infty} \vert\lambda_1\vert^k \vert V_1\vert =0$$

mentre per $V=V_2$

$$\lim_{k\to +\infty} \left\vert A^{(k)}(X)\,V_2\right\vert = ... ...\to +\infty} \vert\lambda_2\vert^k \vert V_2\vert =+\infty \ ;$$

cioè l'andamento di queste successioni di lunghezze del vettore variazione dipende dai moltiplicatori di Lyapounov e dagli esponenti di Lyapounov che, in questo caso, sono semplicemente i logaritmi dei moltiplicatori.

Per generalizzare la definizione di esponente di Lyapounov ad un'orbita qualsiasi, non necessariamente periodica, si procede come segue.

Definizione:

Dati la mappa $S$, la condizione iniziale $X$ e il vettore variazione $V$ di lunghezza 1, se esiste il limite

$$\lim_{k\to +\infty} \frac 1k \log\left(\vert A^{(k)}(X)\,V\vert\right)= \chi(X,V)$$


si chiama esponente di Lyapounov per $S$ in $X$.

Un esponente di Lyapounov misura il carattere esponenziale della divergenza di orbite con condizioni iniziali vicine (in effetti, infinitamente vicine, nel senso che si usano le derivate parziali contenute nelle matrici jacobiane, non degli incrementi finiti). Il vettore variazione cresce di lunghezza come $\exp(\chi\, k)$; ovvero, $1/\chi$ è il tempo di Lyapounov in cui la lunghezza tende ad aumentare di un fattore $\exp(1)$. Non è detto che il limite per $k\to+\infty$ esista; perciò non per tutte le mappe $S$, e per tutte le condizioni iniziali $X$, esistono gli esponenti di Lyapounov. Tuttavia nel caso che lo spazio su cui si opera sia compatto, come è il caso di ${\bf T}^2$, gli esponenti di Lyapounov esisteranno per la maggior parte delle condizioni iniziali.

Esempio:

Nella mappa standard del pendolo, per $h=1$, il punto fisso iperbolico ha autovalori del linearizzato $\lambda=3/2\pm \sqrt{5}/2$ e quindi esponenti di Lyapounov $\simeq \pm 0.96$. (Si noti che, gli autovalori di una mappa conservativa essendo $\lambda, 1/\lambda$, gli esponenti di Lyapounov sono uno l'opposto dell'altro).

Figura 6.15: Andamento degli autovalori e del determinante della matrice jacobiana dell'iterata, e del coefficiente di espansione (linea continua), in funzione del numero di iterazioni; la scala verticale è logaritmica (in base 10). Le condizioni iniziali corrispondono ad un punto della regione caotica vicino al punto fisso iperbolico.



Scegliamo ora una condizione iniziale vicina, appartenente alla regione caotica che circonda il punto fisso iperbolico: per esempio con $X^{(0)}=(-3,0)$ si ottengono i risultati della Figura 6.15. Le curve tracciate per punti in figura rappresentano, in funzione del numero di iterazioni $k$: l'autovalore maggiore di 1 di $A^{(k)}$, il determinante di $A^{(k)}$, l'autovalore minore di 1 di $A^{(k)}$. Il determinante cessa di essere 1 per effetto di arrotondamento; per esempio la matrice $A^{(100)}$ ha coefficienti dell'ordine di $10^9$, quindi per calcolare il determinante si fa la differenza di due numeri dell'ordine di $10^{18}$, il che porta ad un valore calcolato del determinante $\simeq 253$ per effetto dell'errore di arrotondamento (la precisione relativa dei calcoli, nella maggior parte dei calcolatori, non è meglio di $10^{-16}$). Di conseguenza l'autovalore minore di 1 non può più essere calcolata in modo attendibile per $k>90$, mentre l'autovalore maggiore è calcolato in modo numericamente stabile. Le curve continue rappresentano $d(k)=\vert A^{(k)}(X)\,V\vert$, dove $V$ è un vettore scelto a caso, e la retta di regressione che approssima $d(k)$ nel senso dei minimi quadrati, dalla cui pendenza si ottiene una stima dell'esponente di Lyapounov positivo: $\chi \simeq 0.24$.

Figura 6.16: Come nella figura precedente, ma con condizioni iniziali nella regione ordinata vicino al punto fisso ellittico.

Esempio:

Supponiamo invece di prendere come condizione iniziale il punto fisso ellittico $(0,0)$. Allora gli esponenti di Lyapounov sono tutti nulli, poichè in questo caso

$$A^{(k)}(X_1)=A^k(X_1) = B^{-1} \exp (J\,2\pi/6)^k B$$


dove $B$ riduce alla forma canonica il linearizzato. Poichè la forma canonica è una rotazione e conserva le lunghezze dei vettori

$$\vert\exp (J\,2\pi/6)^k\, V\vert = \vert V\vert \Longrightar... ...t\vert B\vert\vert\,\vert\vert B^{-1}\vert\vert\,\vert V\vert$$


(dove $\vert\vert B\vert\vert$ è la norma uniforme); quindi il limite che definisce l'esponente di Lyapounov è zero per ogni $V$.

Ripetiamo l'esperimento numerico con una condizione iniziale nella regione ordinata attorno al punto fisso ellittico: per esempio con condizioni iniziali $X^{(0)}=(2,0)$ anche dopo $k=400$ iterazioni la lunghezza del vettore variazione non è aumentata di molto; la retta di regressione suggerirebbe un esponente di Lyapounov $\chi\simeq 0.007$, ma dalla Figura 6.16 si penserebbe piuttosto che la curva $d(k)$ possa avere un asintoto orizzontale.

Un programma Matlab per calcolare approssimazioni finite agli esponenti di Lyapounov: lyapexp.m

I due esempi qui sopra suggeriscono che si potrebbe cercare di caratterizzare le regioni caotiche ed ordinate in base ai valori degli esponenti di Lyapounov.

Definizione:

Un'orbita $S^k(X)$ di un sistema dinamico discreto presenta il fenomeno del caos se ha un esponente di Lyapounov positivo ed uno negativo. (Devono essere opposti nel caso conservativo.)

In questo caso si dice anche che $S^k(X)$ è un'orbita caotica.

Questa definizione è relativamente semplice da enunciare, e si basa su di una caratteristica importante, l'impossibilità di prevedere l'orbita su tempi molto più lunghi del tempo di Lyapounov $T_L$. Infatti per iterazioni con $k> 100\; T_L$ ogni differenza di condizioni iniziali viene amplificata di un fattore $\exp(100)$, e anche soltanto l'arrotondamento inevitabile nei calcoli digitali produce orbite del tutto diverse da quella esatta. Ancora peggio, se il sistema dinamico corrisponde ad un sistema fisico le cui proprietà sono misurate, le condizioni iniziali sono note con una certa approssimazione, che si accresce con le iterazioni fino ad impedire qualsiasi previsione al di là di un orizzonte di prevedibilità.

Gli inconvenienti principali sono due. Prima di tutto l'esponente di Lyapounov è un limite per $k\to+\infty$, se si vuol fare riferimento alle Figure 6.15 e 6.16 è proporzionale alla pendenza dell'asintoto, quindi una stima basata su di un numero finito di iterazioni non consente di giungere ad alcuna conclusione rigorosa. Perciò la facilità di calcolo degli esponenti di Lyapounov è solo apparente, e la definizione di caos basata su di essi non è verificabile con un numero finito di operazioni.

Secondo, abbiamo visto già dagli esempi che non è detto che una ``regione caotica'' che ci appare a prima vista come omogenea abbia lo stesso esponente di Lyapounov (positivo) dappertutto. Un aperto nello spazio delle condizioni iniziali può contenere una mistura di orbite tutte caotiche, ma in misura assai diversa, e magari con comportamenti qualitativamente diversi.

Un esempio di questi comportamenti diversi è dato dal fenomeno del ``caos stabile''. In poche parole, un'orbita può essere caotica (nel senso dell'esponente di Lyapounov positivo) e malgrado ciò comportarsi, per un tempo molto più lungo del tempo di Lyapounov, come un orbita stabile [Milani-Nobili 92].

Insiemi iperbolici

Una possibile definizione alternativa di caos si basa sul teorema del punto omoclinico trasversale, e consiste nel richiedere un comportamento descrivibile in termini di dinamica simbolica.

Definizione:

Un'orbita del sistema dinamico discreto $S$ presenta il fenomeno del caos se appartiene ad un insieme compatto $\Lambda$, che è un insieme iperbolico per un'iterata $G=S^n$ di $S$ e tale che la mappa $G$ ristretta a $\Lambda$ è coniugata mediante un omeomorfismo ad uno scorrimento di Bernoulli.

È chiaro che questa definizione è troppo restrittiva, visto che già un intreccio eteroclinico produce una dinamica simbolica più complicata di quella del teorema del punto omoclinico trasversale. Sarebbe però possibile, anche se non è il caso di farlo qui, dare una definizione più generale di dinamica simbolica con un numero finito (ma magari maggiore di due) di simboli, e di scorrimenti ristretti (non tutte le sequenze sono possibili) in modo da includere tutti i tipi di intrecci omoclinici ed eteroclinici trasversali. Definizioni di questo tipo comportano difficoltà tecniche notevoli, anche solo per essere enunciate. Tuttavia hanno il vantaggio di indicare un comportamento dinamico ben definito, di cui esiste una descrizione esplicita.

Il problema sorge quando ci si chiede ``quante sono'' le condizioni iniziali che danno luogo al caos nel senso di questa definizione molto restrittiva. Si noti che gli insiemi di Smale $\Lambda=K\times K$ hanno misura zero. Perciò la difficoltà associata a questo tipo di definizione è far vedere che esistono insiemi abbastanza grandi, per esempio nel senso della loro area, di condizioni iniziali caotiche.

Regioni caotiche

Un'alternativa che è stata discussa a lungo è una definizione di regione caotica che faccia riferimento alle sue proprietà qualitative, al fatto che le orbite vadano ``ognuna per conto suo'', in termini intuitivi il caos definito come assenza di ordine. Senza addentrarci nelle difficoltà di una definizione di natura così qualitativa, proviamo a dare una definizione semplice di questo tipo.

Definizione:

Un'orbita presenta il fenomeno del caos se essa non è né un punto fisso ellittico, né un punto periodico ellittico, né una curva invariante di Moser.

Questo tentativo di definire il caos per negazione, elencando i casi che non sono da considerare caotici, non risolve il problema di definire una regione caotica in modo operativo. Come abbiamo visto le regioni ordinate non hanno punti interni, quindi si mescolano alle regioni caotiche in ogni intorno, arbitrariamente piccolo. Inoltre una definizione negativa non permette di ottenere molti risultati: le orbite che non sono né periodiche né del tipo descritto dal teorema di Moser possono avere un comportamento del tutto diverso da quelli delle orbite caotiche note, come quelle descritte dalla dinamica simbolica.

Problema aperto

Riassumendo i tentativi di questa Sezione per dare una definizione di caos, notiamo che le tre ipotesi fatte qua sopra sono legate tra loro come segue.

Un punto su di un insieme iperbolico ha esponenti di Lyapounov positivi e negativi. Le curve invarianti di Moser hanno esponenti di Lyapounov tutti nulli. Perciò la definizione di caos basata sugli insiemi iperbolici e la dinamica simbolica è la più restrittiva, che implica le altre. La definizione di caos basata sui soli esponenti di Lyapounov è intermedia tra le altre due, cioè implica quella basata sull'assenza di ordine ed è implicata da quella basata sugli insiemi iperbolici. La definizione di caos come ``non ordine'' è la più vaga, cioè contiene meno informazione.

In conclusione, non si conosce ancora una definizione di caos che sia pienamente soddisfacente. Questo concetto è stato indagato ormai per più di un secolo, eppure la sua complessità, e quindi la ricchezza della ricerca matematica che resta da svolgere su di esso, non finiscono di stupirci.

Gli studenti dei corsi di laurea in matematica o di altre materie, come fisica, in cui ha molto peso il rigore logico, non sono abituati a sentirsi dire che non si sa come definire in modo soddisfacente un concetto fondamentale. Ma la frontiera della ricerca matematica è piena di esempi di questo genere. Per questo mi è sembrato utile concludere questo testo in questo modo.