2.1 ESPONENZIALE DI MATRICI

Sommario Vogliamo generalizzare la funzione esponenziale in modo che sia definita per argomenti matrici. Così come la funzione esponenziale di argomento reale risolve l'equazione differenziale $dx/dt=x$, l'esponenziale di matrici risolve il più generale sistema dinamico continuo lineare. Le proprietà dell'esponenziale di matrici sono strettamente analoghe a quelle della funzione esponenziale ordinaria, con qualche importante differenza che deriva dalla non commutatività del prodotto di matrici.

Dimensione 1

Dato il sistema dinamico dell'esempio della Sezione 1.2: $\dot x=a\,x$, con $a\in {\bf R}$ e condizione iniziale $x(0)=x_0$, si può porre il problema in forma integrale:

$$x(t)=x_0+\int_0^t \dot x(s)\, ds= x_0 + \int_0^t a\, x(s) ds \ .$$

Il metodo delle approssimazioni successive consiste nel partire da un'approssimazione triviale come $x_0(t)=x_0=cost$ e nel definire per ricorrenza una successione di funzioni con l'operatore integrale della formula precedente:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x_0(t)} & {\displ... ...displaystyle x_0+\int_0^t a\, x_k(s)\,ds} \end{array}\right.$$

Calcolando esplicitamente gli integrali, si trova:

$$\begin{eqnarray*} x_1(t)&=& x_0+\int_0^t a\,x_0\,ds= (1+at)\,x_0 \\ x_2(t)&=&x_0+\int_0^t a\,(1+as)\, x_0\, ds=(1+at+\frac{a^2t^2}2)\, x_0 \end{eqnarray*}$$

e in generale:

$$x_k(t)=\left({\sum_{i=0}^k \frac{a^it^i}{i!}}\right)\, x_0\ .$$

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a^it^i}{i!}=\exp(at)\ .$$

Per dare un senso rigoroso all'uguale della formula qui sopra occorre verificare che la serie di funzioni è uniformemente convergente, e quindi per il teorema di convergenza delle funzioni continue la sua somma sarà una funzione continua.

Dimensione n

Consideriamo ora il caso generale di un sistema dinamico continuo lineare $\dot X = A\, X$ con condizione iniziale $X(0)=X_0$ con $X\in {\bf R}^n$, $A$ di tipo $n\times n$. La forma integrale sarà:

$$X(t)=X_0+\int_0^t\, A\, X(s)\, ds$$

ed il procedimento di approssimazioni successive:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle X_0(t)} & {\displ... ...playstyle X_0+\int_0^t A\, X_k(s)\,ds} \end{array}\right. \ .$$

Eseguendo esplicitamente gli integrali, si trova:

$$X_1(t)= X_0+\int_0^t A\,X_0\,ds= (I+At)\,X_0$$

$$X_2(t)=X_0+\int_0^t A\,(I+As)\, X_0\, ds=(I+At+\frac{A^2t^2}2)\, X_0$$

dove $I$ è la matrice identità $n\times n$, e in generale:

$$X_k(t)=\left({\sum_{i=0}^k \frac{A^it^i}{i!}}\right)\, X_0.$$

Si noti che tutti questi passaggi sono del tutto identici a quelli del caso scalare, a parte la sostituzione delle lettere minuscole con le maiuscole. Questo è possibile perché in nessuno di questi passaggi si è usata la proprietà commutativa della moltiplicazione, che non vale per il prodotto di matrici (e non ha neppure senso per il prodotto di matrici con vettori). Per ottenere questo risultato bisogna però tenere $x_0$, come $X_0$, a destra nelle formule.

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{A^it^i}{i!}=\exp(At)\ .$$

La formula qui sopra può essere usata come definizione della funzione esponenziale di matrice:

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{B^i}{i!}=\exp(B)$$

a condizione di provare che la serie è convergente.

Esempio:

Se la matrice $A$ è un multiplo della matrice identità: $A=\lambda\,I$ allora:

$$A^k=\lambda^k\, I\hspace{5mm},\hspace{5mm}\exp(At)=e^{\lambda t}\; I$$


Quindi la soluzione di $\dot X = A\, X$ è $X(t)=e^{\lambda t}\; X_0$.

Esempio:

Supponiamo che la matrice $A$ sia diagonale:

$$A=diag\,[\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_n].$$


Allora il calcolo delle potenze della matrice è molto semplice:

$$A^2=diag\,[\lambda_1^2, \lambda_2^2,\ldots,\lambda_n^2]\ \ldots\ A^k=diag\,[\lambda_1^k, \lambda_2^k,\ldots,\lambda_n^k]$$


e l'esponenziale di matrice è convergente per ogni $t\in {\bf R}$:

$$\exp(At)=diag\,\left[e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}\right]$$


Quindi la soluzione di $\dot X = A\, X$ con condizione iniziale $X(0)=C$ è data da:

$$x_i(t)=e^{\lambda_i t}\; c_i \ \ \mbox{\it per ogni } i=1,\ldots,n$$

Esempio:

Se la matrice $A$ è del tipo:

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{0}\\ {1}&{0}\end{array}\right]$$


allora è nilpotente: $A^2={\underline{\underline{0}}}$, e l'esponenziale di matrice ha solo due termini:

$$\exp(At)=I + At=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\ {t}&{1}\end{array}\right].$$


quindi la soluzione di $\dot x=0 \ ,\ \dot y=x$ con condizione iniziale $(x_0,y_0)$ è data da $x(t)=x_0 \ , \ y(t)=y_0 + x_0\,t$. La stessa soluzione si ottiene risolvendo per $x$ e poi sostituendo nell'equazione per $y$.

Questi esempi sono abbastanza generali, nel senso che ci si può ricondurre a questi, o ad una combinazione di questi, per calcolare le esponenziali di matrice in tutti i casi in cui la matrice $A$ ha autovalori reali; e quindi per risolvere molti sistemi dinamici continui lineari. Questo procedimento di riduzione a casi più semplici sarà presentato nelle Sezioni 2.3, 2.5.

Esercizio Scrivere le soluzioni del sistema dinamico continuo lineare $\dot X = A\, X$ nei seguenti casi:

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {1}&{0}\end{array}\rig... ...ay}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$$

Suggerimento: per la prima matrice usare le serie di Taylor

$$\sum_{m=0}^\infty\frac{b^{2m}t^{2m}}{(2m)!}=\cosh(b\,t) \h... ...um_{m=0}^\infty\frac{b^{2m+1}t^{2m+1}}{(2m+1)!}=\sinh(b\,t) .$$

Per la terza calcolare $A^3$.

(Soluzione)