2.5 NILPOTENTI

Sommario Se una matrice non è diagonalizzabile (e neppure semisemplice), essa differisce da una diagonalizzabile (o semisemplice) per una matrice che elevata a una qualche potenza dà la matrice zero. L'esponenziale di matrice può anche in questo caso essere espressa mediante funzioni analitiche elementari, tra cui appariranno, accanto ad esponenziali, seni e coseni, anche dei polinomi.

Un solo autovalore reale

Poiché le matrici con autovalori semplici sono semisemplici, cerchiamo un esempio di matrice non semisemplice all'estremo opposto, supponendo cioè che ci sia un solo autovalore di molteplicità massima, pari alla dimensione dello spazio.

Sia $A$ una matrice $k\times k$ con il solo autovalore $\lambda\in {\bf R}$. Allora la matrice

$$N=A-\lambda\, I$$

ha il solo autovalore $0$, in particolare non è invertibile.

Consideriamo la trasformazione di ${\bf R}^k$ in sé associata ad $N$: poiché non è un isomorfismo, l'immagine non è tutto ${\bf R}^k$, quindi $dim\,N({\bf R}^k)<k$. Ora applichiamo ancora $N$ ad $N({\bf R}^k)$: poiché anche la restrizione di $N$ a questo sottospazio non ha altri autovalori che lo $0$, anche la restrizione non sarà un isomorfismo, e quindi $N(N({\bf R}^k))$ avrà una dimensione ancora più bassa:

$$k=dim\,R^k> dim\,N({\bf R}^k) > dim\, N(N({\bf R}^k)) > dim\, \ldots > dim\, N^k({\bf R}^k) = 0$$

La sequenza di interi non negativi $dim\, N^s({\bf R}^k)$ è strettamente decrescente, perciò deve arrivare a $0$ al più in $k$ passi.

Definizione:

Un operatore lineare su ${\bf R}^k$, ed anche una matrice $N$ ad esso associata, si dice nilpotente se esiste un intero positivo $s$ tale che $N^s= \underline{\underline{0}}$.

Il minimo numero $s$ per cui ciò accade si dice ordine del nilpotente; per quanto visto sopra, l'ordine non può superare la dimensione dello spazio ambiente: $s\leq k$.

L'unico autovalore di un nilpotente è lo $0$: se così non fosse, $N\,X=\lambda\,X$ con $\lambda\neq 0, X\neq\underline{0}$ implicherebbe $N^k\,X \neq \underline{0}$.

Viceversa, una matrice il cui unico autovalore è $0$ è nilpotente.

Nel caso di una matrice $A$ con un solo autovalore $\lambda\in {\bf R}$, la si può decomporre nella somma di una matrice diagonale e di un nilpotente:

$$A=\lambda\, I +N$$

In questo caso il calcolo dell'esponenziale di matrice è particolarmente semplice. Poiché $\lambda\,I\,N=N\,\lambda\,I$ si applica il teorema della somma degli esponenti

$$\exp(At)=\exp(\lambda\,I\,t + N\,t) = \exp(\lambda\,I\,t)\,\exp(N\,t)= e^{\lambda\,t} \exp(N\,t) \ .$$

E se $N$ è nilpotente, cioè $N^s$ è la matrice zero (dove $s$ è l'ordine), la sua esponenziale è in realtà un polinomio di grado $s-1$

$$\exp(N\,t)=I+N\,t + N^2\,\frac{t^2}2 + N^3\,\frac{t^3}{3!}+\ldots + N^{s-1}\, \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \ .$$

Possiamo concludere che le soluzioni del sistema dinamico lineare $\dot X = A\, X$, con $A$ che ha un solo autovalore, possono essere espresse mediante prodotti della funzione esponenziale $\exp(\lambda\,t)$ con polinomi in $t$; il grado dei polinomi è minore della dimensione dello spazio (perché $s\leq k$).

Vogliamo cambiare base in modo da rendere la forma della matrice $N$ più semplice possibile. Prendiamo come primo vettore della nuova base un vettore $V_1$ tale che $N\, V_1\neq\underline{0}$ (esiste, altrimenti $N$ è la matrice zero), e come secondo vettore della base $V_2=N\, V_1$. Se $N\, V_2=\underline{0}$ allora la sottomatrice $2\times 2$ $Q$ che esprime la trasformazione del sottospazio generato da $\{V_1,V_2\}$ è della forma:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle N\,V_1} & {\disp... ...=\left[\begin{array}{cc}{0}&{0}\\ {1}&{0}\end{array}\right]$$

Se la dimensione $k=2$ allora questo è l'unico caso possibile; altrimenti il procedimento di riduzione in forma canonica del nilpotente va avanti, in uno dei due modi seguenti:

• $N\, V_2=V_3\neq\underline{0}$, nel qual caso si usa $V_3$ come terzo vettore della base; se $N\,V_3= \underline{0}$ la sottomatrice $3\times 3$ $Q$ che esprime la trasformazione del sottospazio generato da $\{V_1, V_2, V_3\}$ è:
  
  $$Q=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$
  
  
  Poichè $N\;V_3=N^2\;V_2=N^3\;V_1$ se l'ordine del nilpotente è 3 allora $N^3$ deve essere la matrice zero. Se invece $n\geq 4$ e l'ordine del nilpotente è $\geq 4$, allora può essere che $N\;V_3=V_4\neq 0$ e la costruzione prosegue.
  
• $N\, V_2=\underline{0}$; allora scegliamo un terzo vettore della base $V_3$, indipendente da $\{V_1,V_2\}$ e tale che $N\, V_3\neq\underline{0}$. Se questo non è possibile, vuol dire che il resto della matrice è zero; se è possibile, si inizia un nuovo blocco con le stesse proprietà del primo.

Questo ragionamento viene utilizzato nella dimostrazione del teorema della forma canonica dei nilpotenti come passo di induzione. È un procedimento costruttivo, che fornisce esplicitamente la nuova base $\{V_k\}$ e quindi la matrice $B=V^{-1}$ del cambiamento di coordinate lineare che riduce a forma canonica.

In generale una matrice nilpotente $N$ di tipo $k\times k$ si può ridurre, con un cambiamento di coordinate lineare $B^{-1}$, nella forma descritta dal teorema della forma canonica dei nilpotenti, cioè come matrice diagonale a blocchi

$$B^{-1}\,N\,B=diag\,[N_1,N_2,\ldots,N_s]$$

dove ciascun blocco di Jordan $N_j=Q$ lungo la diagonale principale:

$$q_{ij}=1 \ se\ i=j+1 \hspace{5mm},\hspace{5mm}q_{ij}=0\ altrimenti\ ;$$

al di fuori dei blocchi si intende che i coefficienti siano tutti zero.

Esercizio Per la matrice nilpotente $Q$ definita sopra, calcolare $\exp(Q\, t)$.

Suggerimento: $Q^2$ ha diversi da zero solo i coefficienti di posto $(i+2,i)$, se esistono....

(Soluzione)

Se la matrice $A$ ha un solo autovalore reale $\lambda$, è della forma $A=\lambda\, I + N$; il cambiamento di coordinate lineare che riduce il nilpotente $N$ alla forma canonica non cambia $\lambda\,I$ (che commuta con ogni matrice $B$), quindi riduce $A$ alla sua forma canonica di Jordan dove ciascun blocco di Jordan $F$ lungo la diagonale principale:

$$\left\{\begin{array}{lcl}{f_{ij}}&=&{1 \ se\ i=j+1}\\ {f_{... ...bda\ se\ i=j}\\ {f_{ij}}&=&{0\ altrimenti}\end{array}\right.$$

Dei vettori che formano la nuova base, soltanto il primo di ogni blocco di Jordan è un autovettore di autovalore $\lambda$; perciò il numero di blocchi di Jordan nella forma canonica di un nilpotente è pari alla molteplicità dell'autovalore.

Esercizio Determinare le orbite del sistema dinamico

$$\dot X=AX\;,\; A=\left[\begin{array}{cc}{-1}&{4}\\ {-1}&{-5}\end{array}\right] \ .$$

(Soluzione)

Nodi impropri

Consideriamo il caso di dimensione $k=2$ ed una matrice $A$ con un solo autovalore reale $\lambda$ di molteplicità algebrica $2$:

$$A=\lambda\, I +N \hspace{5mm},\hspace{5mm}N^2=\underline{\underline{0}}$$

Supponiamo che la matrice $A$ non sia diagonalizzabile, cioè che $N$ non sia la matrice zero (altrimenti si ricade nel caso già visto in 2.3).

Poiché $N$ è nilpotente, la sua esponenziale si riduce ad un polinomio di grado $ordine - 1$, in questo caso di grado 1:

$$\exp(N\,t)= I+N\,t$$

e poiché $\lambda\,I$ commuta con ogni altra matrice, inclusa $N$, l'esponenziale della somma si può calcolare con il teorema della somma degli esponenti

$$\exp(A\,t)=\exp(\lambda\, I\,t +N\,t)=e^{\lambda\,t}[I+N\,t]\;.$$

Quindi per il sistema dinamico lineare: $\dot X = A\, X$ con condizione iniziale $X(0)=X_0$ il flusso integrale

$$X(t)=e^{\lambda\,t}[X_0+N\,X_0\,t]$$

è esprimibile mediante l'esponenziale di $\lambda\,t$ per polinomi di grado 1.

Come visto nello sottosezione precedente, cambiando riferimento (cioè con un coniugio), $N$ può essere messo nella forma canonica con un solo coefficiente diverso da zero sotto la diagonale. Poiché il cambiamento di riferimento non cambia la matrice $\lambda\,I$, nel nuovo riferimento la stessa applicazione è espressa dalla matrice $Q=B\,A\,B^{-1}$ della forma

$$Q=\lambda\, I+ \left[\begin{array}{cc}{0}&{0}\\ {1}&{0}\end{array}\right]$$

e quindi l'esponenziale è

$$\exp(Q\,t)=\exp\,\left[\begin{array}{cc}{\lambda\,t}&{0}\\ ... ...t}\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\ {t}&{1}\end{array}\right]$$

e la soluzione di $\dot X = A\, X$ può essere espressa mediante la matrice $B$ del cambiamento di coordinate:

$$X(t)=e^{\lambda\,t}\,B^{-1}\;\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\ {t}&{1}\end{array}\right]\,B\, X_0$$

Questa formula è più semplice da esaminare dal punto di vista qualitativo, ma in pratica è più complicata da usare di quella precedente, in cui l'esponenziale di $N$ era calcolata senza passare dalla forma canonica. Infatti per calcolare la matrice $B$ occorre: scegliere un vettore $V_1$; calcolare $V_2=N\, V_1$; verificare che è diverso da $\underline{0}$; formare la matrice $B^{-1}=[V_1,V_2]$; invertirla per trovare $B$; eseguire le moltiplicazioni di matrici del coniugio con $B$. Nella formula precedente invece basta calcolare $N=A-\lambda\, I$.

Esercizio Trovare tutte le possibili matrici nilpotenti $2\times 2$.

Suggerimento: se l'equazione caratteristica deve essere $\lambda^2=0$, poiché i coefficienti dell'equazione caratteristica sono meno la traccia ed il determinante $det\, A = Tr\, A = 0$, da cui $a_{11}=-a_{22}=a$; distinguendo i casi $a\neq 0$ ed $a=0$...

(Soluzione)

Figura 2.5: Nodo improprio; a sinistra in forma canonica.

Il comportamento qualitativo delle orbite si può quindi studiare nel caso del sistema in forma canonica, a cui ci si può ricondurre con un cambiamento di coordinate lineare:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...tyle=} &{\displaystyle x + \lambda\,y} \end{array}\right. \ ;$$

il flusso integrale, in funzione della condizione iniziale $(x_0,y_0)$, è

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x(t)} & {\display... ...isplaystyle e^{\lambda\,t}\,[y_0 +x_0\,t]} \end{array}\right.$$

e il comportamento qualitativo dipende soltanto dal segno di $\lambda$:

• $\lambda<0$. Tutte le orbite per $t\to -\infty$ vanno all'infinito, e hanno come limite per $t\to +\infty$ l'origine. Tendono all'origine con tangente che tende alla verticale:
  
  $$\lim_{t\to +\infty} \frac{y(t)}{x(t)}= \lim_{t\to +\infty} \frac{y_0+x_0\,t}{x_0}= +\infty$$
  
  

• $\lambda>0$. Tutte le orbite per $t\to +\infty$ vanno all'infinito, e hanno come limite per $t\to -\infty$ l'origine. Si allontanano dall'origine con tangente verticale:
  
  $$\lim_{t\to -\infty} \frac{y(t)}{x(t)}= \lim_{t\to -\infty} \frac{y_0+x_0\,t}{x_0}= -\infty$$
  
  

  Nei due casi con $\lambda\neq 0$ il comportamento qualitativo attorno al punto di equilibrio si chiama nodo improprio. Si noti la presenza di una curva eccezionale che in questo caso è $x=0$.

• $\lambda=0$. Tutte le orbite tendono all'infinito per $t\to \pm \infty$, salvo la linea di punti di equilibrio per $x=0$. Ogni retta $x=cost$ è un'orbita; per ogni $t\in {\bf R}$, il flusso integrale è uno scorrimento.

Soluzione di un sistema dinamico lineare

Vogliamo ora delineare la procedura da usare per risolvere esplicitamente un sistema dinamico continuo lineare qualsiasi. Il procedimento più generale usa la decomposizione della matrice del sistema in somma di due matrici che commutano tra loro, e per ciascuna delle quali il calcolo dell'esponenziale è elementare.

Consideriamo il più generale sistema dinamico lineare:

$$\dot X = A\,X \hspace{5mm},\hspace{5mm}X\in {\bf R}^n\ ,\ A\ \mbox{matrice $n\times n$}$$

Per ogni matrice quadrata $A$ il teorema della decomposizione S + N dice che esistono una matrice semisemplice $S$ ed una matrice nilpotente $N$ tali che:

$$A=S+N \hspace{5mm},\hspace{5mm}NS=SN \ .$$

Questa decomposizione è unica, cioè sia $S$ che $N$ sono univocamente determinate da $A$. Ne segue la possibilità di calcolare l'esponenziale di matrice che descrive il flusso integrale del sistema dinamico:

Per ogni matrice $A$ di tipo $n\times n$, tutte le orbite del sistema dinamico continuo lineare $\dot X = A\, X$ sono esprimibili mediante combinazioni lineari di funzioni del tipo:

• funzioni esponenziali $e^{\lambda\,t}$, dove $\lambda$ è un autovalore reale di $A$;

• funzioni esponenziali moltiplicate per seni o coseni, $e^{a\,t}\,\cos(b\,t)$ oppure $e^{a\,t}\,\sin(b\,t)$, dove $a\pm Jb$ sono autovalori complessi di $A$;

• funzioni esponenziali moltiplicate per polinomi $e^{\lambda\,t}\,P(t)$, dove $\lambda$ è un autovalore di $A$ di molteplicità algebrica $r$ e $P(t)$ è un polinomio di grado $\leq r-1$;

• funzioni esponenziali per seni/coseni per polinomi $e^{a\,t}\,\cos(b\,t)\,P(t)$ oppure $e^{a\,t}\,\sin(b\,t)\,Q(t)$, dove $a\pm Jb$ sono autovalori complessi di $A$ di molteplicità algebrica $r$ e $P(t),Q(t)$ sono polinomi di grado $\leq r-1$.

Dimostrazione: In conseguenza della decomposizione S + N, sono possibili le seguenti semplificazioni nel calcolo dell'esponenziale di matrice:

• Poiché le due matrici $S,N$ commutano, si possono calcolare le loro esponenziali separatamente e poi applicare il teorema della somma degli esponenti:
  
  $$\exp(S\,t+N\,t)=\exp(S\,t)\,\exp(N\,t)$$
  
  

• La matrice $N$ è nilpotente, con ordine del nilpotente $k$ non superiore ad $n$, quindi $N^k$ è la matrice zero e l'esponenziale di $N$ è un polinomio a coefficienti matrici di grado $k-1$:
  
  
  $$\exp(N\,t)= \sum_{j=0}^k \frac{N^jt^j}{j!}$$
  
  
  e quindi ogni suo coefficiente è un polinomio di grado non superiore a $k$.

• La matrice $S$ può essere ridotta in forma canonica di un semisemplice, e questo consente di calcolarne l'esponenziale come nel teorema del sistema semisemplice; in particolare $\exp(S\,t)$ si esprime mediante funzioni esponenziali, seni e coseni.

In realtà sia la decomposizione $S+N$, sia la forma canonica della matrice semisemplice $S$ sono disponibili solo a condizione di conoscere tutti gli autovalori di $A$, il che non è affatto ovvio dal punto di vista computazionale.

Eseguendo la moltiplicazione di matrici $\exp(S\,t)\,\exp(N\,t)$ si trovano le combinazioni lineari delle funzioni descritte nell'enunciato del teorema.

Resta da spiegare perché i polinomi che moltiplicano $e^{\lambda\,t}$ (oppure $e^{a\,t}\cos(b\,t)$, $e^{a\,t}\,\sin(b\,t)$) hanno grado non superiore alla molteplicità dell'autovalore meno uno, benché appaiano nel polinomio $\exp(N\,t)$ che ha un grado $k$ che potrebbe essere superiore. La dimostrazione di quest'ultimo punto richiederebbe una discussione un po' più approfondita dei requisiti di algebra (vedi Sezione A.1). Perciò la rimandiamo alla seguente discussione sulle forme canoniche di Jordan.

 Dimostrazione da completare.

Una descrizione più esplicita del flusso integrale di un sistema dinamico lineare generale può essere ottenuta utilizzando la forma canonica di Jordan e la forma canonica di Jordan reale. Se la matrice $A$ ha solo autovalori reali, esiste un cambiamento di coordinate lineare $B$ tale che:

$$Q=B\,A\,B^{-1}=diag\,[\lambda_1\,I+N_1, \lambda_2\,I+N_2,\ldots, \lambda_s\,I+N_s]$$

dove $\lambda_1,\ldots, \lambda_s$ sono gli autovalori distinti di $A$, di molteplicità algebrica $m_1,\ldots,m_s$, ed $N_1,\ldots, N_s$ sono matrici nilpotenti operanti su spazi di dimensioni pari alle molteplicità algebriche rispettive.

Questo completa la dimostrazione del teorema delle soluzioni del sistema dinamico lineare nel caso di autovalori reali, perché il nilpotente $N_k$ ha ordine $m_k-1$, quindi la corrispondente esponenziale viene moltiplicata per un polinomio di grado non superiore a $m_k-1$.

Si può scegliere la nuova base, cioè la matrice $B^{-1}$, in modo tale che ciascuno dei nilpotenti $N_k$ abbia la forma canonica dei nilpotenti (si vedano gli esempi nella Sezione 2.5); allora la matrice trasformata $Q$ sarà diagonale a blocchi, con un certo numero di blocchi di Jordan per ogni autovalore distinto:

$$Q=diag\,[Q_1,\ldots, Q_s]\hspace{5mm},\hspace{5mm} Q_j=\lef... ...&\ddots & \vdots \cr 0 & 0 & 0& \ldots & \lambda_k }\right]$$

Questa è la forma canonica di Jordan di una matrice ad autovalori reali. L'esponenziale di una matrice $Q$ in forma canonica di Jordan è diagonale a blocchi, con le esponenziali dei blocchi di Jordan lungo la diagonale. Se il blocco di Jordan $Q_k$ è di tipo $p\times p$:

$$\exp(Q_j\,t)=e^{\lambda_k\,t}\;\left[\matrix{ 1 & 0 & 0 & \... ...(p-1)! &t^{p-2}/(p-2)! & t^{p-3}/(p-3)! & \ldots & 1 }\right]$$

Una descrizione analoga è possibile nel caso in cui $A$ abbia anche autovalori complessi coniugati, utilizzando la forma canonica di Jordan reale. In un opportuno sistema di riferimento ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati $z,\overline{z}$ corrisponde un certo numero di blocchi di Jordan realidella forma:

$$C=diag\,[z,z,\ldots,z] + N$$

dove $z$ è nella sua forma matriciale $2\times 2$ ed il nilpotente $N$:

$$n_{ij}=1 \ se\ i=j+2 \hspace{5mm},\hspace{5mm}n_{ij}=0\ altrimenti.$$

Si noti che $N^2$ ha diversi da zero solo i coefficienti di posto $i+4,i$ (se esistono).

Per completare la dimostrazione del teorema delle soluzioni del sistema dinamico lineare occorre considerare che i blocchi di Jordan reali associati agli autovalori $z,\overline{z}$ non possono essere più grandi di $2m\times 2m$ se $m$ è la molteplicità algebrica della coppia di autovalori.

Esercizio Determinare esplicitamente il flusso integrale del sistema dinamico

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \frac{d\,X}{dt}} &... ...-1&0&2\\ 6&6&2&-6\\ -3&-2&1&3\\ 1&1&1&1 \end{array}\right ]$$

e studiare i limiti delle traiettorie per $t\to\infty$.

Suggerimento: La matrice data ha un solo autovalore.

(Soluzione)

Risonanza

Vogliamo discutere un esempio di sistema dinamico lineare con una matrice ad autovalori non reali e non semisemplice. Questo è il più semplice esempio di sistema dinamico che presenta una risonanza, cioè un effetto di amplificazione dovuto all'eguaglianza di due frequenze.

Consideriamo il sistema dinamico lineare in ${\bf R}^4$:

$$\left[\begin{array}{c} {\dot x}\\ {\dot y}\\ {\dot u}\\ {\... ...ft[\begin{array}{c}{x}\\ {y}\\ {u}\\ {v}\end{array}\right]\ ,$$

che è equivalente al sistema di due equazioni del secondo ordine:

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} +\omega^2\;x=0 \hspace{5mm},\hspace{5m... ...c{d^2{u}}{d{t}^2} +\omega^2\;u=2\;\epsilon\; \frac{d{x}}{d{t}}$$

cioè a due oscillatori armonici con la stessa frequenza, il secondo accoppiato al primo. Se si risolve l'equazione per $x(t)$ e si sostituisce nell'equazione per $u(t)$ si ottiene un oscillatore armonico forzato alla frequenza propria, il modo classico di introdurre la risonanza. La matrice $A$ del sistema è decomponibile in $S+N$, con la parte semisemplice $S=diag\,[-\omega\,J,-\omega\,J]$, mentre la parte nilpotente $N$ ha due soli coefficienti $\neq 0$, uguali ad $\epsilon$, nei posti $n_{31},n_{42}$; $N^2=\underline{\underline{0}}$.

$$\exp(S\,t)= diag\,[R_{-\omega\,t}, R_{-\omega\,t}]\hspace{5mm},\hspace{5mm} \exp(N\,t)= I + N\,t$$

dove $R_\theta$ è la rotazione di un angolo $\theta$ nel piano ${\bf R}^2$, in verso antiorario se $\theta>0$ (quindi la rotazione è in verso orario se $\omega>0$).

Per poter usare il teorema della somma degli esponenti bisogna verificare che $SN=NS$; non è detto che sia così per ogni modo di scomporre la matrice in semisemplice più nilpotente, ma in questo caso è vero.

Allora l'orbita con condizione iniziale $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ è:

$$\left[\begin{array}{c}{x(t)}\\ {y(t)}\\ {u(t)}\\ {v(t)}\end... ...egin{array}{c}{x_0}\\ {y_0}\\ {u_0}\\ {v_0}\end{array}\right]$$

ossia la soluzione $(x,y)$ è quella dell'oscillatore armonico, mentre per $(u,v)$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle u(t)} & {\displa... ...v_0\,\cos(\omega\,t) +\epsilon\,t\,y(t)} \end{array}\right.$$

Le soluzioni sono illimitate, cioè l'accoppiamento di due oscillatori armonici con la stessa frequenza risulta in un trasferimento illimitato di energia.