3.6 SELLE

Sommario Un punto di equilibrio il cui linearizzato ha esponenti di Lyapounov sia positivi che negativi è instabile; infatti ci sono necessariamente delle curve per cui l'equilibrio è il limite per $t\to -\infty$, e anche altre per cui è limite per $t\to +\infty$. Tali curve sono uniche. Se non ci sono autovalori con parte reale nulla un intorno di un punto di equilibrio può essere descritto come il prodotto cartesiano di un pozzo per una sorgente.

Selle in dimensione 2

Consideriamo un sistema dinamico continuo in ${\bf R}^2$, e facciamo l'ipotesi che abbia un punto di equilibrio nell'origine; sviluppando il campo vettoriale nell'origine si ottiene:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...splaystyle=} &{\displaystyle cx+dy+g(x,y)} \end{array}\right.$$

dove $f(x,y),g(x,y)$ sono infinitesimi per $(x,y)\to (0,0)$ di ordine superiore al primo (rispetto a $\sqrt{x^2+y^2}$). Allora il sistema dinamico linearizzato nell'origine è:

$$\frac{d{ }}{d{t}}\,\left[\begin{array}{c}{x}\\ {y}\end{arr... ...A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\ {c}&{d}\end{array}\right]$$

Abbiamo già visto le proprietà qualitative del sistema dinamico nonlineare nel caso di un pozzo o di una sorgente, che si verificano per $det\, A>0$; infatti in tal caso, se $tr\,A<0$ gli esponenti di Lyapounov sono tutti negativi, mentre se $tr\,A>0$ sono tutti positivi.

Definizione:

L'origine è una sella nonlineare se il sistema linearizzato ha un esponente di Lyapounov positivo ed uno negativo.

Questo si verifica per $det\, A<0$: gli autovalori di $A$ sono reali e con prodotto negativo.

Un'altra affermazione equivalente è che il sistema linearizzato ha un punto di equilibrio di tipo sella.

Se $det\, A<0$ gli autovalori sono distinti, supponiamo che siano $\lambda,\mu$ con $\lambda >0>\mu$; quindi esistono due autovettori linearmente indipendenti, e usando questi come nuova base si può portare il sistema dinamico nella forma più semplice

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...playstyle=} &{\displaystyle \mu\,y+g(x,y)} \end{array}\right.$$

il cui linearizzato è

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...displaystyle=} &{\displaystyle \mu\,y} \end{array}\right.\; .$$

Esempio:

Il sistema linearizzato ha soluzioni $(x(t), y(t))$ che soddisfano ad equazioni $\vert y\vert^\lambda\;\vert x\vert^{-\mu} = cost$ ed in particolare le soluzioni contenute in $y=0$ ed $x=0$, che sono `diverse' dalle altre. Per dare una definizione rigorosa di questa diversità occorre considerare il comportamento delle soluzioni per $t\to +\infty$ e per $t\to -\infty$.

Curve eccezionali

Una curva eccezionale è una curva la cui immagine $C$ contiene delle soluzioni del sistema dinamico che hanno o limite diverso, o anche lo stesso limite ma vi arrivano con tangente differente (o verso differente, come in Figura 2.5), rispetto ad altre soluzioni ``arbitrariamente vicine'' (cioè con condizioni iniziali in un sistema fondamentale di intorni di $C$). Questa definizione si può intendere sia per $t\to +\infty$ che per $t\to -\infty$.

Figura 3.8: Un punto di equilibrio che presenta delle curve eccezionali, che tendono al punto stesso per $t\to \pm \infty$ a differenza del le altre soluzioni vicine.

Una sella nonlineare ha sempre delle soluzioni che tendono al punto di equilibrio sia per $t\to +\infty$ che per $t\to -\infty$; le immagini di queste soluzioni formano due insiemi $B_+,B_-$, localmente chiusi nell'intorno del punto di equilibrio, ed aventi per frontiera delle curve eccezionali.

Dimostrazione: Dopo aver trasformato il sistema dinamico nella forma:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...playstyle=} &{\displaystyle \mu\,y+g(x,y)} \end{array}\right.$$

con $\lambda >0>\mu$, passiamo alle coordinate polari ${x}={r\cos\theta},\;{y}={r\sin\theta}$. In tali coordinate il sistema dinamico dotato di una sella nonlineare diventa:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot r} & {\displ... ...u-\lambda)\,r\cos\theta\,\sin\theta+o(r)} \end{array}\right.$$

dove i simboli $o(r)$ indicano degli infinitesimi, per $r\to 0$, di ordine superiore al primo rispetto ad $r$. Il problema è che $r(t)$ non tende a zero, o almeno non su tutte le soluzioni, quindi gli $o(r)$ non sono necessariamente piccoli per $t\to \pm \infty$.

Figura: Il settore $Q$ in cui le soluzioni entrano dai due lati rettilinei ed escono dal lato curvilineo.

Per dimostrare l'esistenza di $B_-$ prendiamo un settore $Q$ definito in coordinate polari da $r\leq r_1, \vert\theta\vert\leq \theta_1$, dove $\theta_1,r_1$ sono scelti positivi ma abbastanza piccoli perché nel settore $Q$:

• $\cos\theta>0$ e $\lambda\,\cos^2\theta + \mu\,\sin^2 \theta>0$
• $\dot r$ ha il segno della parte principale, cioè quello di $\lambda\,\cos^2\theta + \mu\,\sin^2 \theta$ che è $>0$.
• $\dot \theta$ è negativo per $\theta=\theta_1, r\leq r_1$, positivo per $\theta=-\theta_1, r\leq r_1$.

Allora in tutti i punti di $Q$ vale $\dot r>0$. Consideriamo il bordo di $Q$, che è costituito dai due segmenti $OA$ ed $OB$ e dall'arco di circonferenza $AB$, dove $O$ è l'origine, $A$ ha coordinate polari $(r_1,\theta_1)$ e $B$ ha coordinate polari $(r_1,-\theta_1)$. Sul segmento $OA$ vale $\dot \theta<0$, e sul segmento $OB$ vale $\dot \theta>0$, cioè le soluzioni entrano in $Q$ (non considerando il punto $O$ che è di equilibrio). Invece sull'arco $AB$ vale $\dot r>0$, quindi le soluzioni escono da $Q$.

Consideriamo una soluzione $(r(t),\theta(t))$ che entra in $Q$ da uno dei due segmenti $OA$, $OB$ (escluso $O$). Lungo tale soluzione $r(t)$ è crescente, e non può avere un limite finito e $\leq r_1$ (altrimenti sui valori limite si avrebbe $\dot r=0$, e questo non accade in $Q$). Perciò tale soluzione esce da $Q$ lungo $AB$. Chiamiamo $C_A$ la parte di $AB$ da cui escono le soluzioni che entrano da $OA$, e $C_B$ quella parte di $AB$ da cui escono le soluzioni entrate in $OB$. I due insiemi sono separati (le soluzioni non possono incrociarsi, per non violare l'unicità delle soluzioni per una condizione iniziale data) ed aperti. Poiché l'arco $AB$ è un insieme continuo (è parametrizzato dal segmento $-\theta_1\leq\theta\leq\theta_1$), deve esistere almeno un elemento separatore $D$ che non appartiene né a $C_A$ né a $C_B$. Prendiamo la soluzione $(r(t),\theta(t))$ per $D$: per $t\to -\infty$ non può uscire da $Q$, ma per lo stesso ragionamento fatto sopra $r(t)$ non può tendere ad un limite $>0$, quindi la soluzione per $D$ ha come punto limite per $t\to -\infty$ la sella nonlineare $O$.

Se ne deduce che $B_-$ non è vuoto; esso contiene tutte le soluzioni che appartengono al tratto di $AB$ compreso tra $C_A$ e $C_B$, che può essere o un singolo punto $D$ o un arco $DE$ compresi i due estremi $D$ ed $E$. Nel primo caso c'è una sola curva eccezionale per $D$, che è l'unica in $Q$ ad avere $O$ come punto limite per $t\to -\infty$; nel secondo caso, arbitrariamente vicino alle due curve per $D$ ed $E$ esistono soluzioni che, per $t\to -\infty$, non tendono a $O$.

La dimostrazione relativa a $B_+$ è sostanzialmente la stessa, salvo che occorre considerare un settore


$$\left\{ \begin{array}{lcl} r&\leq&{r_1}\\ \vert\theta-\pi/ 2\vert&\leq&{\theta_1} \end{array}\right.\;,$$


e questa volta le soluzioni entreranno dall'arco di circonferenza ed usciranno dai segmenti.

 C.D.D.

In realtà le proprietà degli autovalori reali $\lambda,\mu$ che servono nella dimostrazione relativa a $B_-$ sono: $\lambda>0$ e $\mu-\lambda<0$; non serve che $\mu<0$. Ne segue che l'esistenza di curve eccezionali e dell'insieme $B_-$ vale anche nel caso di un punto di equilibrio degenere con un esponente di Lyapounov nullo ed uno positivo. Simmetricamente, l'esistenza di curve eccezionali e dell'insieme $B_+$ vale nel caso di un punto di equilibrio degenere con un esponente di Lyapounov nullo ed uno negativo.

Nel caso di due autovalori positivi ma distinti $\lambda>\mu>0$ si ha una sorgente, ed il sistema linearizzato è del tipo nodo. Usando ancora la stessa definizione, visto che $\mu-\lambda<0$ e che $\dot r>0$ in un settore opportunamente scelto, si mostra l'esistenza di curve eccezionali che sono diverse dalle altre non per il limite per $t\to -\infty$, che in questo caso è la sorgente per tutte le soluzioni vicine, ma per la tangente con cui si avvicinano al limite; si veda la Figura 2.1.

Separatrici

Definizione:

Una curva differenziabile in ${\bf R}^2$, si dice separatrice di un sistema dinamico continuo, se la sua immagine $C$ ha le seguenti due proprietà:

(a)
Tutte le soluzioni con condizione iniziale in $C$ hanno come limite per $t\to +\infty$ lo stesso punto limite $S$; oppure, tutte hanno come limite per $t\to -\infty$ lo stesso punto limite $U$.
(b)
Per ogni punto $P\in C$ esiste un intorno $V$ di $P$, tale che i punti in $V-C$ non hanno lo stesso punto limite (per $t\to +\infty$ o per $t\to -\infty$, rispettivamente, secondo il caso nella condizione (a)).

Si potrebbe dimostrare che una terza condizione (c) segue da (a) e (b):

(c)

Tutte le soluzioni con condizione iniziale in $C$ hanno immagine interamente contenuta in $C$ (l'insieme $C$ è invariante).

Esempio:

Per il sistema dinamico lineare $\dot x=\lambda\,x\, ,\; \dot y=\mu\,y$ con $\lambda >0>\mu$, le curve $y=0$ ed $x=0$ sono separatrici, poiché coincidono con l'insieme delle condizioni iniziali con l'origine come limite, rispettivamente per $t\to -\infty$ e per $t\to +\infty$.

Esempio:

Nell'esempio della Figura 3.7, il sistema dinamico gradiente definito dalla funzione $U(x,y)=1 -2x^2+2y^2 +(x^2+y^2)^2$, la retta $x=0$ è una separatrice, perché forma il bacino di attrazione della sella nonlineare $(0,0)$. Anche il segmento di retta $y=0$ con $-1< x< 1$ è una separatrice, essendo il bacino di repulsione della sella, cioè l'insieme dei punti che hanno l'origine come punto limite per $t\to -\infty$.

Mentre nel caso lineare si può accertare l'esistenza di separatrici approfittando dell'espressione esplicita di tutte le soluzioni, nel caso nonlineare l'esistenza di curve separatrici non è in generale ovvia. Perciò è importante poter decidere dell'esistenza di separatrici sulla base delle sole proprietà del linearizzato, per esempio sulla base dei soli esponenti di Lyapounov.

Una sella nonlineare ha sempre esattamente due separatrici, che sono l'insieme delle condizioni iniziali che hanno quel punto di equilibrio come limite per $t\to +\infty$ e per $t\to -\infty$, e si chiamano perciò, rispettivamente, separatrice stabile e separatrice instabile. La separatrice stabile è tangente, nel punto di equilibrio, all'autospazio dell'autovalore negativo del linearizzato; quella instabile è tangente all'autospazio dell'autovalore positivo.

Usando la Figura 3.9, questo teorema afferma che i due punti $D$ ed $E$ coincidono, e la soluzione per $D=E$ fa parte della separatrice, che contiene anche il punto di equilibrio $O$ e la curva eccezionale dall'altra parte.

Dimostrazione (facoltativa):

Questo teorema è una conseguenza del teorema delle separatrici stabile e instabile.

Supponiamo che la sella nonlineare sia nell'origine, e che sia della forma


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...playstyle=} &{\displaystyle \mu\,y+g(x,y)} \end{array}\right.$$


con $\lambda >0>\mu$ ed $f(x,y),g(x,y)$ infinitesimi di ordine superiore al primo per $(x,y)\to (0,0)$. Il flusso integrale si potrà esprimere, in un intorno dell'origine, come:


$$\Phi^t(x_0,y_0)=\left(e^{\lambda\,t}\,x_0 + F^t(x_0,y_0), e^{\mu\,t}\,y_0 + G^t(x_0,y_0)\right)$$


dove $F^t,G^t$ è la differenza tra il flusso integrale ed il flusso integrale del linearizzato. Per il teorema di differenziabilità del flusso le parti nonlineari $F^t,G^t$ sono piccole, cioè di ordine superiore al primo per $(x_0,y_0)\to (0,0)$.

Questo deriva dal fatto che l'equazione alle variazioni per l'orbita con condizioni iniziali nell'origine coincide con il sistema linearizzato nell'origine, il cui flusso integrale è $x(t)=e^{\lambda\,t}\,x_0,\;y(t)=e^{\mu\,t}\, y_0$.

L'origine è un punto fisso iperbolico per il sistema dinamico discreto $\Phi^t$, con un valore fisso $t>0$: gli autovalori del linearizzato nel punto fisso sono $\exp(\lambda t)$ e $\exp(\mu t)$. Applicando a $\Phi^t$ il teorema delle separatrici stabile e instabile troviamo una separatrice instabile tangente all'asse $x$ nell'origine, ed una stabile tangente all'asse $y$.

Per concludere la dimostrazione del teorema occorre mostrare che le separatrici di $\Phi^t$ sono invarianti per $\Phi^s$ per ogni $s$, non solo per il $t$ usato nella dimostrazione. Questo deriva dal fatto che tali curve invarianti esistono per ogni $s$, per il teorema di esistenza delle curve eccezionali, e perciò devono coincidere per non violare l'unicità delle separatrici di $\Phi^t$.

Per una dimostrazione più approfondita si veda [Hartmann 64].

 C.D.D.

Un teorema analogo afferma l'unicità delle curve eccezionali dei nodi.

Le due soluzioni appartenenti alla separatrice, che hanno il punto di sella come limite per $t\to -\infty$, si allontanano dall'equilibrio al crescere di $t$; se consideriamo tali soluzioni sull'intervallo massimo di definizione (nel senso del teorema di continuazione delle soluzioni), ciascuna di esse ha per immagine una curva in ${\bf R}^2$. Tuttavia non è detto che l'immagine di questa curva sia chiusa in ${\bf R}^2$. È proprio il riavvolgersi delle separatrici e il loro intersecarsi in modo complicato uno dei fenomeni alla base del caos, come sarà discusso nel Capitolo 6. Anche nei casi più semplici, le separatrici si ``avvolgono'' tra loro, e con questo determinano le proprietà qualitative di un sistema dinamico nel piano, come nei due esempi seguenti.

Esempio:

Figura 3.10: Le separatrici del pendolo nonlineare con dissipazione; il bacino indicato con la lettera A è quello del punto stabile R, quello indicato con B appartiene ad S. Le curve sono state tracciate usando un integratore numerico, con condizioni iniziali vicine alle selle, in avanti o in indietro in modo opportuno.


Nel pendolo nonlineare con dissipazione le separatici sono due per ogni sella

$$x=(2m+1)\pi\hspace{5mm},\hspace{5mm}y=0$$


(con $m$ intero), e ciascuna contiene un'orbita che tende ad uno dei punti di equilibrio stabile più vicini, ed una che tende all'infinito. Le separatrici fungono da frontiera dei bacini di attrazione di ciascun punto di equilibrio asintoticamente stabile. Nella Figura 3.10 sono indicati i bacini dei due pozzi $(2\pi,0)$ e $(4\pi,0)$.

Esempio:

Figura 3.11: Le separatrici del sistema dissipativo di dimensione 1 con energia potenziale $V(x)=x^4-2x^2$. Il bacino indicato con la lettera A è quello del punto stabile R, quello indicato con B appartiene ad S. Le due curve sono state tracciate usando un integratore numerico, scegliendo condizioni iniziali vicine alla sella, ed integrando in avanti o in indietro.


Il sistema dissipativo ad un grado di libertà definito dall'energia potenziale $V(x)=x^4-x^2$ e con dissipazione $\gamma>0$ ha equazioni

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...e=} &{\displaystyle -4x^3+2x-\gamma\,y} \end{array}\right.\;.$$



L'origine è un punto di sella nonlineare; tracciate le separatrici, è facile rendersi conto che i bacini di attrazione dei due punti asintoticamente stabili (corrispondenti ai minimi del potenziale in $x=1/\sqrt{2}$ ed $x=-1/\sqrt{2}$) si avvolgono l'uno attorno all'altro a spirale, come illustrato in Figura 3.11.

Esercizio Dato il sistema newtoniano dissipativo:

$$\ddot x = 1-x^2 -\gamma\, \dot x$$

trovare i punti di equilibrio, determinare la loro stabilità, tracciare qualitativamente le separatrici delle eventuali selle e descrivere i bacini degli eventuali pozzi. (Soluzione)

Punti di equilibrio iperbolici

Definizione:

Un punto di equilibrio iperbolico è un punto di equlibrio di un sistema dinamico continuo tale che la matrice del linearizzato non ha autovalori con parte reale zero (ovvero non ha esponenti di Lyapounov nulli).

In ${\bf R}^2$ ci sono solo tre tipi di punti di equilibrio iperbolici: i pozzi, le selle e le sorgenti, a seconda che il numero di esponenti di Lyapounov negativi sia 2, 1 o 0. Dal teorema di esistenza della separatrice instabile segue che un punto di equilibrio iperbolico o è un pozzo o è instabile.

In effetti questo segue già dal più semplice teorema di esistenza delle curve eccezionali. Inoltre lo stesso risultato vale anche per un punto di equlibrio iperbolico in ${\bf R}^n$ con $n>2$.

In un intorno abbastanza piccolo del punto di equilibrio, il comportamento qualitativo delle orbite del sistema dinamico può essere deciso in base alla sua parte lineare. Per i pozzi e le sorgenti questo deriva dai teoremi della Sezione 3.2. Nel caso della sella nonlineare, il comportamento qualitativo può essere descritto da quello della sella lineare, ma in questo caso la natura ``qualitativa'' (o meglio, topologica) del risultato si manifesta con una perdita di differenziabilità nella corrispondenza tra i due sistemi, come nel teorema seguente.

Ogni sella nonlineare ha un intorno $U$ tale che esiste un omeomorfismo $k$ tra $U$ ed un intorno $V$ di una sella lineare, tale che le soluzioni dei due sistemi dinamici sono coniugate tra loro: se $\Phi^t$ è il flusso integrale del sistema nonlineare, e $\Psi^t$ quello del sistema lineare, allora

$$k\circ \Phi^t=\Psi^t\circ k \ .$$

Dimostrazione omessa.