2.4 AUTOVALORI COMPLESSI

Sommario Se la matrice di un sistema dinamico lineare ha autovalori complessi, non è diagonalizzabile. Però può essere diagonalizzabile in campo complesso. Ad ogni coppia di autovalori complessi coniugati corrisponde un blocco $2\times 2$ che si può mettere in una forma canonica. Queste forme canoniche costituiscono un modello del campo complesso.

Forma matriciale dei numeri complessi

Tra le matrici a coefficienti reali di tipo $2\times 2$ consideriamo il sottospazio ${\bf C}$ di dimensione 2 delle matrici della forma

$$\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right... ...array}{cc}{0}&{-1}\\ {1}&{0}\end{array}\right] = a\,I + b\,J$$

Il sottospazio ${\bf C}$ è generato da $I,J$, dove $I$ è la matrice identità e $J$ la matrice antisimmetrica definita sopra. In questa rappresentazione matriciale del numero complesso, la scelta di $J$, che determina la struttura complessa, deve rispettare il requisito $J^2=-I$. Ogni matrice di ${\bf C}$ è quindi presentabile in tre forme: come matrice, come combinazione lineare della base $\{I,J\}$ e come coppia di coordinate rispetto alla base:

$$\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right] = a\,I + b\, J \simeq (a,b)$$

La forma $a\,I + b\,J$ dà la rappresentazione algebrica del numero complesso; la forma $(a,b)$ dà la rappresentazione cartesiana del numero complesso (nel cosiddetto piano di Argand-Gauss).

L'insieme ${\bf C}$ di matrici non solo è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare, ma anche rispetto al prodotto di matrici. Infatti

$$\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right... ...&{-(ad+bc)}\\ {bc+ad}&{-bd+ac}\end{array}\right] \in {\bf C}$$

Il fatto più notevole a proposito del prodotto in ${\bf C}$ è che essa gode della proprietà commutativa:

$$(a\,I +b\,J)\,(c\,I+d\,J)=(c\,I+d\,J)\,(a\,I +b\,J)$$

che non vale in generale per le matrici quadrate qualsiasi.

Il generatore $I$ è l'unità reale ed il generatore $J$ l'unità immaginaria: se $z=a\,I +b\,J$, allora $a=Re(z),\; b=Im(z)$. Il sottospazio di ${\bf C}$ generato da $I$ contiene i numeri complessi che possono essere identificati con i numeri reali, tramite la corrispondenza biunivoca tra $\lambda I\in {\bf C}$ e $\lambda\in {\bf R}$ ; si usa perciò dire che $\lambda\, I + 0\,J$ è un numero reale. Questa identificazione consente anche di scrivere semplicemente $z=a+J\,b$, dove si sottintende l'unità reale.

L'uso anche contemporaneo delle diverse rappresentazioni dei numeri complessi è possibile senza contraddizioni. Si possono per esempio mescolare due modelli di numeri complessi ottenendo una definizione consistente di prodotto; se infatti $z=x+Jy$, $w=u+Jv$, possiamo eseguire il prodotto $w\,z$ usando per $w$ la rappresentazione come matrice, e la rappresentazione cartesiana $z\in{\bf R}^2$, pur di considerare $z$ come vettore colonna, ed usando il prodotto di matrici riga per colonna:

$$w\,z=\left[\begin{array}{cc}{u}&{-v}\\ {v}&{u}\end{array}\... ...t]=\left[\begin{array}{c}{ux-vy}\\ {vx+uy}\end{array}\right]$$

Poiché per ogni matrice di ${\bf C}$:

$$det\, \left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right]=a^2+b^2 \geq 0$$

definiamo, per ogni $z\in {\bf C}$, il modulo di $z$ come $\vert z\vert=\sqrt{det\,z}$. Il modulo così definito ha le stesse proprietà della lunghezza di un vettore:

$$\vert z\vert=0 \iff z=0\,I + 0\,J \hspace{5mm},\hspace{5mm} ... ...5mm},\hspace{5mm} \vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert$$

In effetti, se consideriamo la forma cartesiana del numero complesso, cioè $z=(x,y)$, allora $\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$, ossia il modulo del numero complesso è la lunghezza del vettore che lo rappresenta nel piano di Argand-Gauss. D'altro canto se $z=(a,0)$ è un numero complesso che è anche reale, $\vert z\vert=\vert a\vert$, cioè i tre usi dello stesso simbolo (e i due della stessa parola ``modulo") non portano ad alcuna contraddizione.

Poiché il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine nel piano di Argand-Gauss, ossia il raggio delle coordinate polari, vogliamo definire la variabile angolo che assieme ad essa forma le coordinate polari. Se $\vert z\vert=r>0$, esiste una ed una sola matrice di rotazione tale che

$$z=r\, \left[\begin{array}{cc}{\cos\theta}&{-\sin\theta}\\ {\sin\theta}&{\cos\theta}\end{array}\right]$$

Infatti

$$z/r= \left[\begin{array}{cc}{x}&{-y}\\ {y}&{x}\end{array}\right] \ \ con \ \ x^2+y^2=1$$

e usando la parametrizzazione della circonferenza $x^2+y^2=1$ mediante seno e coseno si ottiene la matrice di rotazione. Allora l'insieme degli angoli $\theta$ di rotazione della matrice $z/r$ si chiama argomento del numero complesso $z$, e si indica con $arg(z)$ (si tratta in effetti di una variabile angolo).

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli; gli argomenti del prodotto sono la somma degli argomenti. Infatti dati $z,w\in C$

$$\vert zw\vert=\sqrt{det(zw)}=\sqrt{det(z)\, det(w)}=\vert z\vert\,\vert w\vert$$

per il teorema del determinante del prodotto. Se poi

$$z=r\,(\cos\theta\, I + \sin\theta\,J)\hspace{5mm},\hspace{5mm} w=s\,(\cos\phi\, I + \sin\phi\,J)$$

con $r,s\in {\bf R}$, allora, eseguendo il prodotto

$$zw=(rs)\,[(\cos\theta\cos\phi -\sin\theta\sin\phi)\,I + (\cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi)\, J =$$

$$=(rs)\,[\cos(\theta+\phi)\, I + \sin(\theta+\phi)\, J]$$

L'ultimo passaggio si può giustificare in due modi: o con le formule di addizione della trigonometria, o perché $\cos\theta\, I + \sin\theta\, J$ è la matrice associata ad una rotazione dell'angolo $\theta$ (in verso antiorario), $\cos\phi\, I + \sin\phi\,J$ è la matrice associata alla rotazione di $\phi$, e la composizione di due rotazioni è la rotazione dell'angolo somma. In altre parole, non occorre ricordare le formule di addizione se ci si ricordano le regole per moltiplicare i numeri complessi (che poi discendono semplicemente dalle regole $IJ=JI=J\,,\; JJ=-I$).

Data $z\in {\bf C}$, chiamiamo complesso coniugato di $z$, e indichiamo con $\overline z$, la matrice trasposta di $z$ (che è pure in ${\bf C}$):

$$z=\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right] = a\,I+b\,J\simeq (a,b)$$

$$\overline z = {\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\en... ...a}&{b}\\ {-b}&{a}\end{array}\right] = a\,I-b\,J\simeq (a,-b)$$

Il complesso coniugato ha la stessa parte reale $Re(z)$, e parte immaginaria opposta $-Im(z)$. Ha quindi anche lo stesso modulo $\vert z\vert$, ed argomenti opposti $-arg(z)$. Vale la proprietà: $\overline{z+w}= \overline z + \overline w$. Anche per il prodotto:

$$\overline{zw}=(zw)^T = w^T z^T= \overline w\, \overline z= \overline z\,\overline w$$

L'inverso di $z\in {\bf C}$, $z\neq 0$, si può calcolare come

$$z^{-1}=\frac{\overline z}{\vert z\vert^2}$$

Infatti

$$z^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{arra... ...{a}\end{array}\right]}^T = \frac 1{\vert z\vert^2} \overline z$$

Seguono dalla formula dell'inverso le proprietà:

$$\vert z^{-1}\vert=\vert z\vert^{-1} \hspace{5mm},\hspace{5mm}arg(z^{-1})=-arg(z)$$

La potenza $n$-esima di un numero complesso $z$ è definita per induzione nello stesso modo della potenza di un numero reale: $z^0=1,\; z^{n+1}=z^n\,z$. Usando la formula del modulo del prodotto e dell'argomento del prodotto si mostra che

$$\vert z^n\vert=\vert z\vert^n\hspace{5mm},\hspace{5mm} arg(z^n)=n\, arg(z)$$

Le formule del modulo e dell'argomento della potenza valgono per ogni $n$ intero, anche negativo, purché naturalmente si intenda $z^{-k}=(z^{-1})^k=(z^k)^{-1}$.

Sia $z=a\,I +b\,J$ una matrice di ${\bf C}$: le radici dell'equazione caratteristica, cioè i valori di $\lambda\in {\bf C}$ tali che

$$det\,[z-\lambda I]=0$$

sono i numeri complessi $z$ e $\overline z$. Infatti sia $Re(z)=a, Im(z)=b$:

$$det\,[z-\lambda I]=det\;\left[\begin{array}{cc}{a-\lambda}&{-b}\\ {b}&{a-\lambda}\end{array}\right] =(a-\lambda)^2 + b^2=0$$

ha soluzione $\lambda=a\,I \pm b\, J$. Questo è un caso particolare del teorema di Hamilton-Cayley.

Sistemi dinamici lineari complessi

Consideriamo ora un sistema dinamico lineare con matrice non diagonalizzabile (in campo reale) di questo tipo:

$$\left[\begin{array}{c}{\dot x}\\ {\dot y}\end{array}\right... ...}\right]\; \left[\begin{array}{c}{x}\\ {y}\end{array}\right]$$

e costruiamo una variabile complessa $z=x+ J\,y$; poiché come già osservato si possono mescolare le due rappresentazioni matriciali e vettoriali, ponendo $w = a + J\,b$ il secondo membro dell'equazione differenziale si può esprimere come prodotto in ${\bf C}$:

$$\dot z = w\, z$$

dove $w\in {\bf C}$ è la stessa cosa di $A$ considerata come numero complesso; allora la soluzione si ottiene mediante la funzione esponenziale di argomento complesso, che è definita dalla serie:

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{w^it^i}{i!}=\exp(wt)$$

la cui convergenza è garantita dal teorema di convergenza in norma, usando il modulo del numero complesso come norma. Se la condizione iniziale è $z(0)=z_0=x_0+J\,y_0$:

$$z(t)=x(t)+J\, y(t)=e^{w\,t}\,z_0$$

da cui la soluzione nel senso reale:

$$x(t)=Re\left(e^{w\,t}\,z_0\right)\hspace{5mm},\hspace{5mm} y(t)=Im\left(e^{w\,t}\,z_0\right)$$

L'ambiguità nell'espressione $\exp(wt)$, tra la funzione esponenziale di una variabile complessa e l'esponenziale di matrice, non crea alcun problema. In effetti le due serie coincidono e la loro convergenza può essere dimostrata usando o il modulo $\vert wt\vert$ o la norma di matrice $\vert\vert wt\vert\vert$ nel teorema di convergenza in norma.

Esempio:

Se la matrice $A=a\, I$ corrisponde ad un numero complesso con parte immaginaria $0$, allora

$$\exp(At)=\exp(a\,t\,I)=e^{a\,t}\,I$$


e le soluzioni del sistema dinamico sono semplicemente:

$$x(t)=e^{a\,t}\, x_0\hspace{5mm},\hspace{5mm}y(t)=e^{a\, t}\, y_0 \ .$$

Esempio:

Se la matrice $A$ è antisimmetrica

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{-b}\\ {b}&{0}\end{array}\right]=b\,J ,$$


cioè corrisponde ad un numero immaginario puro, allora le potenze pari sono reali:

$$A^2=-b^2\, I \ \ldots\ A^{2k}=\left(A^2\right)^k=(-1)^k\,b^{2k}\, I$$


mentre le potenze dispari sono antisimmetriche, cioè immaginarie:

$$A^3=A^2\;A=-b^3\, J \ \ldots\ A^{2k+1}=(-1)^k\,b^{2k+1}\, J$$


perciò le ridotte della serie esponenziale hanno un'espressione che si può calcolare esplicitamente:

$$\sum_{k=0}^{2s+1} \frac{A^kt^k}{k!} = \sum_{m=0}^s\left[ \fr... ...^m}{(2m+1)!}\, J + \frac{b^{2m}t^{2m}(-1)^m}{(2m)!} \,I\right]$$


Ora il passaggio da fare con cautela è il riordino della serie, separando la parte di grado pari (quindi reale) da quella di grado dispari (quindi immaginaria). Questo è lecito perché la serie converge assolutamente, come si deduce dalla convergenza assoluta delle due serie separate per parte immaginaria e parte reale:

$$\sum_{m=0}^\infty\frac{b^{2m}t^{2m}(-1)^m}{(2m)!} \,I=\cos(... ...infty\frac{b^{2m+1}t^{2m+1}(-1)^m}{(2m+1)!}\, J=\sin(b\,t)\,J$$


da cui si deduce la formula di Eulero:

$$\exp(J\,b\,t)=\cos(b\,t)\,I + \sin(b\,t)\,J\;.$$


Applicando la formula dell'esponenziale di matrice per descrivere la soluzione del sistema dinamico in questo caso si ottiene:

$$x(t)+J\, y(t)= \exp(J\,b\,t)\,(x_0+J\,y_0)=\left[\cos(b\,t)\,I + \sin(b\,t)\,J\right]\,(x_0+J\,y_0)$$


e separando parte reale e parte immaginaria:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x(t)} & {\displays... ...aystyle \sin(b\,t)\,x_0 + \cos(b\,t)\, y_0} \end{array}\right.$$


cioè la soluzione già nota dell'esempio dell'oscillatore armonico, con $\omega=-b$.

Centri e fuochi

Per trattare il caso generale dell'equazione $dz/dt=w\,z$ con $w\in {\bf C}$ occorre utilizzare il teorema della somma degli esponenti: poiché le due matrici $I,J$ commutano tra loro ($IJ=JI=J$):

$$A=a\, I + b\,J \hspace{5mm},\hspace{5mm}\exp(A\,t)= \exp(a\,t\,I)\; \exp(b\,t\,J)$$

e quindi usando i calcoli eseguiti nei due esempi precedenti:

$$\exp(A\,t)=e^{a\,t}\, [\cos(b\,t)\,I + \sin(b\,t)\,J]$$

Allora le soluzioni di $dz/dt=w\,z$ dove $w=A\in {\bf C}$ sono le seguenti:

$$x(t)+J\,y(t)=\exp(A\, t)\, z_0= e^{a\,t}\, (\cos(b\,t)\,I + \sin(b\,t)\,J)\,(x_0+J\,y_0)$$

e per ottenere le soluzioni in forma reale basta moltiplicare ed separare parte reale e parte immaginaria:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x(t)} & {\display... ...,t}\, [\sin(b\,t)\, x_0 +\cos(b\,t)\,y_0]} \end{array}\right.$$

Il flusso integrale al tempo $t$ si può descrivere come una rotazione di un angolo $b\,t$ seguita da un'omotetia di un fattore $\exp(a\,t)$.

Vorremmo generalizzare questa soluzione al caso di una arbitraria matrice $A$ di tipo $2\times 2$ con autovalori complessi coniugati $a+J\,b,\; a-J\,b$. Consideriamo $A$ come operatore lineare su ${\bf C}^2$; allora esistono in ${\bf C}^2$ due autovettori:

$$A\, W = (a+J\,b)\,W \hspace{5mm},\hspace{5mm}A\, Z = (a-J\,b)\,Z .$$

Gli autovettori relativi ai due autovalori coniugati possono essere scelti in modo da essere coniugati tra loro: $Z=\overline W$; infatti, $A$ è reale, $\overline A=A$ e quindi:

$$A\, \overline{W}=\overline{A\,W}=\overline{(a+J\,b)\,W}= (a-J\,b)\, \overline{W}$$

Consideriamo in ${\bf R}^2$ i due vettori

$$Y=Re(W)=\frac{W+\overline W}2\hspace{5mm},\hspace{5mm}X=Im(W)=\frac{W-\overline W}{2\sqrt{-1}}$$

Il simbolo $\sqrt{-1}$ è stato usato al posto di $J$ per evitare confusione tra le operazioni matriciali e le operazioni algebriche in ${\bf C}$. Allora riscriviamo le equazioni degli autovalori in termini di $X,Y$:

$$A\,W=A\,(Y+\sqrt{-1}\,X)= A\, Y + \sqrt{-1}\, A\, X = (a+\sqrt{-1}\, b)\, (Y+\sqrt{-1}\, X)$$

e separando parte reale e parte immaginaria:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle A\, X} & {\displa... ...isplaystyle=} &{\displaystyle -b\,X+ a\,Y} \end{array}\right.$$

Supponiamo di usare un sistema di riferimento definito dalla base $\{X,Y\}$. Verificare che i vettori $X,Y$ sono linearmente indipendenti. L'applicazione associata ad $A$ con la base canonica è associata nella nuova base a

$$Q=\left[\begin{array}{cc}{a}&{-b}\\ {b}&{a}\end{array}\right]= a\, I + b\,J$$

Perciò se si vuole calcolare l'esponenziale di matrice di $A$, si può calcolare $\exp(Q\, t)$ che è data dalla formula del caso precedente, e poi usare:

$$\exp(A\,t)=\exp(B^{-1}\, Q\, B\,t)=B^{-1}\, \exp(Q\,t)\, B$$

dove $B^{-1}=[X,Y]$ ha come colonne i vettori della nuova base.

Figura 2.3: Un punto di equilibrio di tipo fuoco; a sinistra in forma canonica.

In conclusione, se una matrice $2\times 2$ ha autovalori complessi coniugati, è sempre possibile riportarla con un cambiamento di riferimento ad una matrice che appartiene a ${\bf C}$, e che corrisponde ad uno degli autovalori.

Possiamo quindi studiare il comportamento qualitativo con la forma canonica

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...aystyle=} &{\displaystyle b\,x + a\,y} \end{array}\right. \ .$$

Figura 2.4: Un punto di equilibrio di tipo centro; a sinistra in forma canonica.

Il comportamento qualitativo delle soluzioni dipende solo dal segno di $a$:

• $a<0$ Tutte le orbite (diverse dall'equilibrio) vanno all'infinito per $t\to -\infty$ e tendono al punto di equilibrio nell'origine per $t\to +\infty$. Le traiettorie sono delle spirali, che si avvolgono attorno al punto di equilibrio con frequenza pari alla parte immaginaria $b$.
• $a>0$ Le orbite tendono al punto di equilibrio per $t\to -\infty$, cioè sono delle spirali che si svolgono. Il punto di equilibrio si dice di tipo fuoco, sia in questo caso che nel precedente.
• $a=0$ Tutte le orbite (diverse dall'equilibrio) girano attorno al punto di equilibrio, ripassando sempre per gli stessi punti: ogni orbita è quindi un'orbita periodica; i limiti per $t\to \pm \infty$ non esistono. Il punto di equilibrio si dice di tipo centro. Si noti che per $b>0$ la rotazione attorno al punto di equilibrio è in senso antiorario, al contrario di quello che si ottiene nel caso dell'oscillatore armonico. In questo caso il sistema dinamico ammette un integrale primo $E(x,y)=x^2+y^2$.

Problema Nel piano $(x_1,x_2)$ determinare tutte le curve $X\colon{\bf R}\to{\bf R}^2$, la cui tangente nel punto $P$ forma un angolo costante $\omega$ con il vettore che congiunge l'origine con $P$. Per quali $\omega$ le curve sono limitate ?

(Soluzione)

Esercizio Descrivere tutte le soluzioni di $\dot X =AX$ dove $X\in {\bf R}^2$ e la matrice

$$A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{-3}\\ {2}&{\phantom{-}2}\end{array}\right] \ .$$

(Soluzione)

Sistema semisemplice

Definizione:

Una matrice $A$, quadrata $n\times n$ a coefficienti reali, si dice matrice semisemplice se è diagonalizzabile in senso complesso, cioè se esiste una base di ${\bf C}^n$ formata di autovettori $\{ V_1, V_2,\ldots,V_n\}$, cioè tale che:

$$A\,V_k=\lambda_k\,V_k\ ,\ \lambda_k\in {\bf C}\ ,\ k=1,\ldots,n .$$

Una matrice con tutti gli autovalori, reali o complessi, semplici (nel senso di molteplicità algebrica 1) è certamente semisemplice, perché gli autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono sempre linearmente indipendenti, e per il teorema fondamentale dell'algebra gli autovalori sono esattamente $n$. Però una matrice può essere semisemplice anche con degli autovalori multipli.

Se la matrice $A$ è semisemplice, allora tutte le orbite del sistema dinamico:

$$\dot X = A\, X\hspace{5mm},\hspace{5mm}X\in {\bf R}^n$$

si possono esprimere mediante combinazioni lineari di funzioni esponenziali $\exp(a_k\,t)$ (dove gli $a_i$ sono le parti reali degli autovalori di $A$) moltiplicate per funzioni trigonometriche $\cos(b_k\,t)$ e $\sin(b_k\,t)$ (dove i $b_k$ sono le parti immaginarie degli autovalori di $A$).

Dimostrazione:

L'equazione caratteristica $det\,[A-\lambda\, I]=0$ è un'equazione algebrica, di grado $n$ se $A$ è di tipo $n\times n$, a coefficienti reali che sono gli invarianti della matrice. Perciò essa ha $n$ radici, contate con la loro molteplicità, tra cui alcune reali

$$c_1,c_2,\ldots,c_s \hspace{5mm},\hspace{5mm}c_k \in {\bf R}\hspace{5mm},\hspace{5mm}s\leq n$$


e altre a coppie complesse coniugate:

$$a_1+J\,b_1, a_1-J\,b_1, a_2+J\,b_2, a_2 -J\, b_2, \ldots a_r+J\,b_r, a_r-J\,b_r \hspace{5mm},\hspace{5mm}s+2r=n .$$


Anche se alcune radici sono ripetute, per ipotesi $A$ è semisemplice e quindi per ogni autovalore c'è un autovettore, in modo che ce ne siano $n=s+2r$ tra loro linearmente indipendenti. Perciò per gli autovalori reali:

$$A\, V_k=c_k\, V_k \hspace{5mm},\hspace{5mm}k=1,\ldots,s\;,$$


e per quelli complessi:

$$A\, W_k = (a_k+J\,b_k)\,W_k \hspace{5mm},\hspace{5mm}A\, Z_k = (a_k-J\,b_k)\,Z_k \hspace{5mm},\hspace{5mm}k=1,\ldots,r\;,$$


dove gli autovettori relativi a due autovalori complessi coniugati possono essere scelti in modo da essere coniugati tra loro: $Z_k=\overline{W_k}$, per lo stesso ragionamento fatto sopra nel caso di una sola coppia. Sarebbe necessario verificare che questa scelta mantiene l'indipendenza lineare su ${\bf C}$ degli autovettori. Prendiamo ora una base di ${\bf R}^n$ costituita dai seguenti vettori reali:

$$V_1,V_2,\ldots,V_s,Im(W_1),Re(W_1),Im(W_2),Re(W_2),\ldots,Im(W_r),Re(W_r)$$


Sarebbe necessario verificare che questa è una base; per esempio la parte reale del sottospazio generato da $W_k, \overline{W_k}$ è generata da $Re(W_k), Im(W_k)$.

Scriviamo la matrice $Q$ che esprime la stessa applicazione lineare di $A$, rispetto alla base così definita. Nella nuova base $V_k$ è espresso in componenti come il vettore $E_k$ della base canonica (con tutte le componenti $0$ salvo la $k$-esima uguale a $1$):


$$Q\, E_k= c_k\, E_k \Longrightarrow q_{jk}=\delta_{jk}\,c_k \hspace{5mm},\hspace{5mm} k=1\ldots, s$$


da cui si deduce che le prime $s$ colonne della matrice $Q$ sono quelle di una matrice diagonale, con gli autovalori reali sulla diagonale principale.

Consideriamo ora la coppia di vettori $X_k=Im(W_k), Y_k=Re(W_k)$ che compaiono nella base al posto $s+2k-1, s+2k$, e perciò sono rappresentati in componenti nel nuovo sistema di riferimento da $E_{s+2k-1}, E_{s+2k}$: ripetendo lo stesso ragionamento del caso con una sola coppia di autovalori coniugati:


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle A\, X_k} & {\dis... ...yle=} &{\displaystyle -b_k\,X_k + a_k\,Y_k} \end{array}\right.$$


e quindi la matrice $Q$ del nuovo sistema di riferimento ha questo effetto:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle Q\,E_{s+2k-1}} &... ...aystyle -b_k\,E_{s+2k-1} + a_k\,E_{s+2k}} \end{array}\right.$$


il che vuol dire che nelle colonne $s+2k-1, s+2k$ della matrice $Q$ i coefficienti sono tutti zero salvo quelli della sottomatrice $2\times 2$ vicino alla diagonale, che è:




$$\left[\begin{array}{cc}{q_{s+2k-1,s+2k-1}}&{q_{s+2k-1,s+2k}}\... ...\begin{array}{cc}{a_k}&{-b_k}\\ {b_k}&{a_k}\end{array}\right]$$



Per ogni coppia di autovalori complessi coniugati, nella matrice trasformata al nuovo sistema di riferimento appare un blocco $2\times 2$ che è in ${\bf C}$, e corrisponde ad uno dei due autovalori in questione.

In conclusione la matrice $A$ può essere trasformata per coniugio nella matrice $Q=B\,A\,B^{-1}$ dove la matrice $B^{-1}$ è formata dai vettori colonna della nuova base; la matrice $Q$ ha sulla diagonale principale gli autovalori reali e in blocchi $2\times 2$ vicino alla diagonale principale gli autovalori complessi. Esprimiamo questa forma speciale della matrice $Q$ con la notazione diagonale a blocchi:



$$Q=diag\, [ c_1,\ldots, c_s, \lambda_1,\ldots, \lambda_r]$$


con la convenzione che ogni autovalore complesso $\lambda_k=a_k+J\,b_k$ sia descritto dal suo blocco $2\times 2$. Una matrice $Q$ di questa forma si chiama forma canonica di un semisemplice. L'esponenziale $\exp(Q\, t)$ sarà diagonale a blocchi, cioè data da un'espressione analoga a quella dell'esponenziale di una matrice diagonale:

$$\begin{array}{l} \exp(diag\, [ c_1,\ldots, c_s, \lambda_1,\l... ...), \exp(\lambda_1\,t),\ldots,\exp(\lambda_r\, t)] \end{array}$$


dove l'esponenziale di un numero reale è la funzione esponenziale, e l'esponenziale di un numero complesso è rappresentata da una matrice $2\times 2$:

$$\exp(c_k\,t)=e^{c_k\,t}\hspace{5mm},\hspace{5mm}\exp(a_k\,t... ...(b_k\,t)}\\ {\sin(b_k\,t)}&{\cos(b_k\,t)}\end{array}\right]$$



La dimostrazione è conclusa con l'esame della formula usuale:

$$\dot X=A\, X\ ,\ X(0)=X_0 \Longleftrightarrow X(t)=\exp(A\,t)\, X_0 = B^{-1} \exp(Q\, t)\, B\, X_0$$

 C.D.D.

Esercizio Determinare il flusso integrale del sistema dinamico

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \frac{d\,X}{dt}}... ...} {3}&{1}&{-4}\\ {3}&{4}&{-3}\\ {-1}&{4}&{0}\end{array}\right]$$

e determinare quali orbite hanno $\underline 0$ come limite per $t\to +\infty$, quali per $t\to -\infty$.

(Soluzione)