5.4 SISTEMI LAGRANGIANI

Sommario Molti esempi di hamiltoniane che non sono del tipo semplice $H(p,q)=T(p)+V(q)$ si ottengono per trasformata di Legendre a partire dalle equazioni di Lagrange. I casi più notevoli sono quelli dei moti vincolati, sia di corpi puntiformi, sia di corpi dotati di momento d'inerzia non nullo (purché lo spazio delle configurazioni resti ad una dimensione). La condizione che la funzione energia potenziale sia di classe $C^2$ può essere rilassata.

Moti vincolati

Molti sistemi hamiltoniani non sono della forma che deriva da un sistema newtoniano ad un grado di libertà. Per esempio, alcuni sistemi hamiltoniani ad un grado di libertà possono essere ricavati da sistemi newtoniani con più gradi di libertà in presenza di vincoli. Il caso più importante è quello del moto vincolato (a un grado di libertà) di un corpo puntiforme; con questo si intende che un corpo puntiforme di massa $m$ si muova nello spazio ${\bf R}^n$ su di una curva $X=X(q)$ con parametro $q$; la curva si suppone che sia regolare, di classe $C^2$ per $q\in I\subset {\bf R}$. Allora l'energia cinetica del corpo puntiforme sarà semplicemente

$$T=\frac m2 \, \vert\dot X\vert^2 = \frac m2 \left\vert\frac{d{X}}{d{q}} \right\vert^2 \, \dot q^2$$

una funzione quadratica di $\dot q$, che soddisfa la condizione di convessità perché il coefficiente di $\dot q^2$ è maggiore di $0$, e che dipende anche da $q$: quindi $T=T(q,\dot q)$.

Non è facile dare una definizione fisica di corpo puntiforme, visto che si tratta di un'astrazione matematica. La definizione più chiara è questa: si tratta di un corpo per il quale l'energia cinetica è fornita solo dal movimento di un singolo punto rappresentativo (in pratica il suo centro di massa), ed è trascurabile qualsiasi contributo proveniente per esempio dall'energia cinetica dei moti di rotazione; quindi l'energia cinetica è data, per definizione, dalla formula precedente. La stessa formula dell'energia cinetica contiene anche la definizione matematica di massa, la cui definizione fisica è concettualmente più complicata, perché deve fare riferimento anche al principio di equivalenza.

Supponiamo che le forze esterne siano dotate di energia potenziale $W(X)$; allora la funzione composta, in sostanza la restrizione dell'energia potenziale alla curva, $V(q)=W(X(q))$, avrà come derivata rispetto a $q$

$$\frac{d{V}}{d{q}}(q)= grad\, W (X(q))\; \frac{d{X}}{d{q}}(q)$$

che è (a meno del segno) la componente lungo la tangente alla curva della forza applicata al corpo puntiforme dal campo $grad\, W$.

Se facciamo l'ipotesi che le componenti delle forze normali alla curva siano annullate dalle reazioni vincolari, che appunto forzano il moto a restare confinato alla curva, ma hanno componente nulla lungo la tangente alla curva, allora l'equazione di moto lungo la curva sarà esprimibile mediante la lagrangiana

$$L(q,\dot q)= T(q,\dot q)-V(q)$$

ossia dall'equazione di Lagrange:

$$\frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}\right) -\frac{\partial {L}}{\partial {q}} =0$$

e sostituendo le equazioni per $T(q,\dot q),\,V(q)$, il momento è

$$p=m\,\dot q\;\left\vert\frac{d{X}}{d{q}}\right\vert^2$$

e l'equazione di Lagrange è

$$\begin{eqnarray*} \frac d{d\,t}\left(\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}\righ... ...} = \left[m\ddot X + \nabla W\right]\cdot \frac{d{X}}{d{q}}=0\;. \end{eqnarray*}$$

Quindi l'equazione di Lagrange esprime il fatto che l'accelerazione $m\ddot X$ subita dal corpo puntiforme è compensata dalla forza esterna di potenziale $W$ soltanto per la componente nella direzione tangente alla curva di vincolo. L'equazione di Lagrange non contiene informazioni sulla componente normale alla curva delle equazioni di Newton. Le equazioni di Newton contengono un altro termine che esprime le reazioni vincolari $R$, cioè delle forze esercitate dal vincolo sul corpo in movimento per mantenerlo sul vincolo stesso:

$$m\,\ddot X= -\nabla W + R\ .$$

L'equazione di Lagrange quindi è equivalente alle equazioni di Newton assumendo che le reazioni vincolari siano normali al vincolo, cioè $R\cdot dX/dq=0$. In questa ipotesi anche le reazioni vincolari sono univocamente determinate, e possono essere calcolate dall'equazione di Newton, una volta nota la soluzione dell'equazione di Lagrange. Questa condizione esprime il fatto che il vincolo sia liscio, senza attrito nella stessa direzione della velocità.

Il moto vincolato può essere generalizzato al caso di più punti materiali, per esempio due punti $X_1, X_2$ in ${\bf R}^3$ con masse $m_1,m_2$. Supponiamo che ci siano dei vincoli tali che i moti di tutti e due i punti siano parametrizzati da una sola coordinata $q$, cioè $X_1=X_1(q)$ e $X_2=X_2(q)$, allora l'energia cinetica si esprime come

$$T=\frac{m_1}2\, \vert\dot X_1\vert^2 + \frac{m_2}2\, \vert\dot X_2\vert^2$$

e data un'energia potenziale $W(X_1, X_2)$, il cui gradiente rispetto a $X_1$ e a $X_2$ corrisponda alle forze agenti sui sue corpi, rispettivamente. Allora si può scrivere una lagrangiana ed una equazione di Lagrange che è equivalente alle equazioni di Newton nell'ipotesi che tutti i vincoli siano lisci.

Esercizio Un corpo puntiforme di massa $m$ viene lanciato verso l'alto, in direzione perfettamente verticale, sotto l'attrazione della gravità terrestre con energia potenziale (in funzione della coordinata verticale $z$):

$$V(z)= -\frac {G\,M\,m}{R+z}$$

dove $G,M,R$ sono costanti positive ($G$ è la costante di gravitazione universale; $M$ la massa della Terra; $R$ il raggio del nostro pianeta, supposto a perfetta simmetria sferica). Il moto può svolgersi soltanto in direzione radiale (per ragioni di simmetria, non è necessario un vincolo). Trovare la funzione di Hamilton e determinare le condizioni iniziali che danno luogo ad un moto illimitato. Per le soluzioni limitate determinare il tempo impiegato a partire dalla superficie ($z=0$) per ritornare alla superficie. (Soluzione)

Esercizio Dato un corpo puntiforme di massa $m$ vincolato all'elica cilindrica

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x} & {\displayst... ...displaystyle=} &{\displaystyle kR\,q} \end{array}\right.\; ,$$

dove $k=\tan \alpha$, $\alpha$ è la pendenza, con energia potenziale $W(x,y,z)=mg\,z$, scrivere le funzioni di Lagrange e di Hamilton, e le soluzioni. (Soluzione)

Pendoli

Prendiamo un corpo puntiforme di massa $m$ che si muove nel piano $(x,y)$ vincolato alla curva $x^2+y^2=\ell^2$, sotto l'azione di un campo di forze con energia potenziale $W(x,y)=mgy$, per esempio per effetto di un campo di gravità costante rivolto in direzione dell'asse $y$ negativo, e di intensità costante $mg$. Si noti che l'energia potenziale è proporzionale alla stessa costante $m$, il che introduce un'altra delle proprietà fondamentali della massa, il principio di equivalenza per cui massa inerziale e massa gravitazionale sono esattamente proporzionali. Comunque ai fini delle equazioni di moto non ha importanza quale è la causa fisica della forza. Il corrispondente sistema dinamico - sia esso espresso con l'equazione di Lagrange oppure con le equazioni di Hamilton - è il pendolo (nonlineare conservativo).

Se parametrizziamo la circonferenza del vincolo con l'angolo $\theta$ misurato a partire dal ``basso'' (cioè dall'asse $y$ negativo), allora

$$X(\theta)=\left[\begin{array}{c}{x(\theta)}\\ {y(\theta)}... ...}{\ell\,\sin\theta}\\ {-\ell\,\cos\theta}\end{array}\right]$$

e per calcolare la funzione di Lagrange

$$L(\theta,\dot \theta)=T(\theta,\dot \theta)-V(\theta)=\frac... ...}{d{\theta}}\right)^2\right] \, \dot \theta^2 - mg\,y(\theta)$$

basta calcolare le derivate della curva rispetto alla parametrizzazione:

$$L(\theta,\dot \theta)=\frac {m\ell^2}2\, \dot \theta^2 +mg\ell\cos\theta\;.$$

La costante $m\,\ell>0$ moltiplica la lagrangiana che si potrebbe dividere per $m\,\ell$ senza che l'equazione di Lagrange, che contiene solo derivate, cambi.

Il momento è quindi

$$p=\frac{\partial {L}}{\partial {\dot\theta}}= m\ell^2\,\dot \theta$$

e l'equazione di Lagrange è

$$\frac{d{p}}{d{t}} = m\ell^2 \, \ddot \theta = -mg\ell\, \sin\theta\;.$$

La trasformata di Legendre definisce una funzione hamiltoniana

$$H(p,\theta)= p\,\dot \theta -L(\theta,\dot \theta)$$

che risulta, sostituendo $p/m\ell^2$ al posto di $\dot \theta$:

$$H(p,\theta)=\frac {p^2}{m\ell^2} - \frac {m\ell^2}2\,\left(... ...^2 -mg\ell\cos\theta= \frac{p^2}{2m\ell^2} -mg\ell\cos\theta$$

Il sistema può anche essere ridotto alla forma newtoniana dividendo la lagrangiana per $m\,\ell^2$ (e quindi ponendo $p=\dot \theta$, il momento uguale alla velocità angolare), e in questa forma è già stato studiato nella Sezione 3.4.

Il fatto che lo spazio delle configurazioni, cioè l'insieme in cui può muoversi il vettore di stato $(x,y)$, sia una circonferenza rende possibile spiegare in modo razionale la natura della coordinata lagrangiana $\theta$. In effetti il punto materiale appartiene ad una circonferenza $S^1$, che è una curva regolare; $\theta$ è una variabile reale che viene impiegata come parametrizzazione di $S^1$. Allora la definizione di una variabile angolo è quella della parametrizzazione, cioè un'applicazione ${\bf R} \longrightarrow S^1$; con il simbolo $\theta$ si indicano ambiguamente sia la variabile indipendente che il punto parametrizzato sulla curva, e quindi si può considerare sia $\theta\in {\bf R}$ che $\theta\in S^1$, ma di volta in volta bisogna specificare chiaramente cosa si intende.

Possiamo usare il pendolo ordinario anche come esempio di un calcolo esplicito delle reazioni vincolari: basta calcolare la violazione delle equazioni di Newton che si ottiene assumendo che non ci siano reazioni vincolari.

$$\frac{d{X}}{d{t}} = \ell\,\dot\theta\; \left[\begin{array}{... ...bla W= \left[\begin{array}{c}{0}\\ {m\,g}\end{array}\right]$$

da cui

$$m\,\frac{d^2{X}}{d{t}^2}+\nabla W = m\; \left[\begin{array}... ... + \ell\,\cos\theta\,{\dot\theta}^2+ g}\end{array}\right] \ ,$$

e sostituendo in questa formula $\ddot\theta$ ricavata dall'equazione di Lagrange

$$m\,\frac{d^2{X}}{d{t}^2}+\nabla W = m\; \left[\begin{array}... ...+ \ell\,\cos\theta\,{\dot\theta}^2+ g}\end{array}\right]=R\ .$$

Si può verificare che $R\cdot dX/d\theta=0$, e se si calcola la componente di $R$ normale alla circonferenza del vincolo e rivolta verso il centro

$$N= \left[\begin{array}{c}{-\sin\theta}\\ {\cos\theta}\end... ...\hspace{5mm}R\cdot N= m\,(\ell\,{\dot\theta}^2+g\,\cos\theta)$$

si verifica che la reazione vincolare è pari alla forza centripeta, che basterebbe a mantenere il vincolo in assenza di forze esterne, più la componente radiale della forza di gravità, che deve essere compensata.

Esercizio Fissando una delle estremità di un filo inestendibile di lunghezza $\ell$ ad un punto materiale di massa $m$, e l'altra estremità al punto più alto di una guida circolare di raggio $R<2\ell/\pi$ (cfr. Figura 5.5), lo si lasci oscillare sotto l'azione di una forza di gravità di intensità $mg$ rivolta verso il basso.

Figura 5.5: Pendolo di lunghezza variabile

Studiare il moto del pendolo sul piano verticale della guida e determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno al punto di equilibrio stabile.

Suggerimento: Come coordinata, servirsi di $\alpha=\pi/2-\phi$, dove $\phi$ è l'angolo formato dalla direzione del filo con la verticale.

(Soluzione)

Esempio:

Il pendolo cicloidale si ottiene vincolando un corpo puntiforme ad una cicloide, che è la curva ottenuta mediante la composizione vettoriale di un moto rettilineo uniforme con un moto circolare uniforme, sotto la condizione che la velocità angolare sia proporzionale a quella lineare, con costante di proporzionalità pari al raggio della circonferenza. Può essere descritto intuitivamente come il moto di un punto su di una circonferenza che rotola su di una guida rettilinea senza strisciare. Una parametrizzazione di una tale curva è:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x} & {\displayst... ... &{\displaystyle -\ell + \ell\cos \alpha} \end{array}\right.$$


da cui si può verificare che la curva è regolare per $0< \alpha < 2\pi$ (ad esclusione quindi dei punti di cuspide). Supponiamo per sempificare le formule che il raggio della ruota sia $\ell=1$.

Figura 5.6: Pendolo cicloidale: la cicloide è ottenuta facendo rotolare senza strisciare una ruota (su di una rotaia posta in alto); per ogni giro della ruota c'è una posizione di equilibrio stabile, e le oscillazioni attorno a questo minimo sono isocrone, non solo per piccole ampiezze, ma per ogni ampiezza di oscillazione fino a raggiungere i punti di cuspide, in cui la curva non è regolare.



Si noti che $\alpha$ non è una variabile angolo, perché la parametrizzazione della curva non è periodica. Il moto è quello di un punto su di una ruota che, senza strisciare, rotola lungo il soffitto.

Le equazioni di Lagrange nella variabile $\alpha$ sono complicate, ma è possibile semplificarle usando il teorema di covarianza dell'equazione di Lagrange. In particolare in questo caso conviene usare un parametro arco $s$, il quale è definito dalla condizione che il vettore velocità della curva rispetto ad $s$ sia di lunghezza 1; come è noto il parametro arco ha la proprietà di misurare la lunghezza della curva, cioè l'incremento di $s$ su di un tratto di curva è la sua lunghezza. Per determinare $s$ si usa la condizione


$$1=\left(\frac{d{x}}{d{s}} \right)^2+\left(\frac{d{y}}{d{s}}... ...pha}}\right)^2\right]\; \left(\frac{d{\alpha}}{d{s}}\right)^2$$


da cui si ricava

$$\left(\frac{d{s}}{d{\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{d{x}}{d... ...{d{\alpha}}\right)^2= (1-\cos {\alpha})^2 + \sin^2{\alpha}\;,$$


che porta ad un'equazione a variabili separabili che lega $s$ ad $\alpha$

$$\frac{d{s}}{d{\alpha}}= \sqrt{2-2\cos \alpha}=2\sin\frac{\alpha}{2}\;;$$


si noti che $\sin(\alpha/2)>$ per $0<\alpha<2\,\pi$. Il parametro arco si ottiene per quadratura

$$s(\alpha)=2\,\int_0^\alpha \sin\frac{\theta}{2}\, d\,\theta= 4\,\left(1\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\right)$$


con un segno da scegliere positivo per $0<\alpha<\pi$ e negativo per $\pi<\alpha<2\,\pi$. Da questo si ricava, senza ambiguità di segno,

$$(s-4)^2=8(1+\cos\alpha)\Longrightarrow \cos\alpha= \frac{(s-4)^2}{8}-1\; ;$$


ne segue che la la coordinata $y=\cos\alpha-1$ in funzione del parametro arco è

$$y= \frac {(s-4)^2}{8}-2\;.$$


Se supponiamo che il corpo vincolato sia sottoposto ad un'accelerazione di gravità di intensità $g$ rivolta verso le $y$ negative, cioè ancora $W(x,y)=m\,g\,y$, ne risulta la lagrangiana nella coordinata $s$:
$$\begin{eqnarray*} L(s,\dot s)&=& \frac m2 \,\left[ \left(\frac{d{x}}{d{s}}\righ... ...,y=\\ &=& \frac m2\, \dot s^2 - m\,g\,\frac{(s-4)^2}8+2m\,g \end{eqnarray*}$$




e l'equazione di Lagrange è quella di un oscillatore armonico:

$$m\, \ddot s + m\,g\,\frac {s-4}4=0$$


con punto di equilibrio $s=4$ (che corrisponde al punto più basso $\alpha=\pi$).

Ne segue che il pendolo cicloidale è perfettamente isocrono, non solo approssimativamente per le piccole oscillazioni. Si badi però che la parametrizzazione cessa di essere regolare per $\alpha=2\pi$ ed $\alpha=0$, ossia per $s-4=\pm 4$; quindi anche le equazioni di Lagrange non sono valide per oscillazioni più ampie. Il pendolo cicloidale ha le stesse equazioni di moto del pendolo lineare, ma solo per oscillazioni di ampiezza non superiore a $4$.

Moti vincolati - esempi

Se un corpo puntiforme è vincolato a muoversi nel piano $(x,y)$ lungo il grafico $y=f(x)$ di una funzione $C^2$, allora l'energia cinetica si calcola usando la parametrizzazione $(x,f(x))$:

$$T(x,\dot x)= \frac m2\, \left[1+\left(f'(x)\right)^2\right] \, \dot x^2\;.$$

Se facciamo la solita assunzione del campo di forze di intensità $mg$ rivolte verso le $y$ negative, si ottiene

$$L(x,\dot x)= \frac m2\, \left[1+\left(f'(x)\right)^2\right] \, \dot x^2 -m\,g\,f(x)$$

La corrispondente hamiltoniana si calcola con la trasformata di Legendre inversa:

$$p=\frac{\partial {L}}{\partial {\dot x}}=m\,\dot x\, \left[1+\left(f'(x)\right)^2\right]$$

$$H(p,x)=\frac{p^2}{2m\,\left[1+\left(f'(x)\right)^2\right]} + m\,g\,f(x)\;.$$

Se invece si usa come parametro sulla curva $y=f(x)$ il parametro arco $s$, allora $L(s,\dot s)= m\dot s^2/2 -mg\, h(s)$ dove $y=h(s)$ è la parametrizzazione della $y$ mediante $s$. Però non è detto che sia semplice calcolare esplicitamente l'integrale che definisce $s(x)$ e poi invertire trovando un'espressione esplicita di $x=x(s)$, salvo che per funzioni $f(x)$ molto particolari.

Esercizio Studiare il moto di corpi puntiformi, su cui agisce una forza verso le $y$ negative e di intensità costante $g$, vincolati al grafico $y=-\cos x$.

(Soluzione)

Corpi non puntiformi

Se un corpo non è puntiforme, per definizione la sua energia cinetica non si riduce alla sola energia cinetica di traslazione. Supponiamo che il corpo sia libero di ruotare soltanto attorno ad un asse con direzione fissa, e sia $\theta$ l'angolo di rotazione: allora l'energia cinetica di rotazione sarà della forma $I\;\dot \theta^2/2$, dove il coefficiente $I$ è il momento d'inerzia rispetto all'unico asse di rotazione.

Per esempio, per un cilindro di raggio $R$ e massa $m$ che ruota attorno all'asse di simmetria, se la densità è uniforme il momento d'inerzia è $I=mR^2/2$. Per una sfera di densità uniforme $I=2mR^2/5$. In generale il momento d'inerzia sarà sempre della forma $\alpha m R^2$ se $m$ è la massa del corpo ed $R$ una lunghezza caratteristica della sua forma, dove il coefficiente $\alpha$ dipende sia dalla forma che dalla distribuzione interna di massa.

Esempio:

L'esperimento di Galileo con il piano inclinato consisteva nel far rotolare una pallina (corpo sferico omogeneo) senza strisciare, sotto l'azione della gravità. Sia $\theta$ l'angolo di rotazione della pallina (attorno ad un asse orizzontale), con l'origine degli angoli scelta in modo tale da corrispondere all'origine della coordinata $q$ lungo il pendio: il vincolo è dato dalla condizione di non strisciare, cioè $q=-R\theta$ (dove $R$ è il raggio della sfera, il segno meno perché la rotazione è in verso orario se la coordinata $q$ cresce sulla destra).

Figura 5.7: L'esperimento di Galileo con una pallina che rotola su di un piano inclinato.



Allora l'energia cinetica, somma di quella di traslazione di un corpo puntiforme con la stessa massa della pallina e di quella di rotazione, è:


$$T=\frac m2\,\dot q^2 + \frac 12\, \frac {2mR^2}5\, \dot \theta^2= \frac 7{10}\,m \dot q^2\;.$$


Se l'angolo formato dal piano inclinato con l'orizzontale è $\alpha$ (con il piano in salita al crescere di $q$), e l'accelerazione di gravità ha intensità $g$, l'energia potenziale $mgy$ è

$$V(q)=(mg\sin\alpha)\,q+ mgR\;,$$


quindi la lagrangiana è, a meno di una costante additiva:

$$L(q,\dot q)= \frac 7{10}\,m \dot q^2 -(mg\sin\alpha)\,q \;;$$


si noti che non dipende da $R$, per ogni $R>0$. Se si considera che la lagrangiana di un corpo puntiforme in caduta verticale libera lungo l'asse $z$ con gravità $w$ è:

$$L(z,\dot z)= \frac 12\, m \dot z^2 -mw\,z$$


si vede che le due lagrangiane esprimono dinamiche equivalenti (perché sono proporzionali, con costante di proporzionalità $7/5$) se

$$w=g\;\frac 57\, \sin \alpha\;.$$


Se si sostituisce la sfera con un cilindro di momento di inerzia $I=mR^2/2$ la relazione con la caduta libera diventa

$$w=g\;\frac 23\, \sin\alpha\;.$$



L'esperimento di Galileo è quindi un esperimento sui moti uniformemente accelerati, ma graduando l'angolo di pendenza $\alpha$ si possono ottenere accelerazioni molto minori di $g$; questo era lo scopo di Galileo nell'usare il piano inclinato, vista la difficoltà di misurare accuratamente i tempi. Si noti che il limite per $R\to 0$ non è possibile, perché la velocità alla periferia del corpo rotante tenderebbe all'infinito; in effetti l'approssimazione del corpo puntiforme conduce ad un risultato diverso.

Esercizio

Supponiamo che la distribuzione interna di massa del corpo che rotola lungo un piano inclinato, come nell'esperimento di Galileo, sia non uniforme. Come esempio estremo supponiamo che tutta la massa di un cilindro rotolante su di un piano inclinato di un angolo $\alpha$ sia concentrata in un corpo puntiforme di massa $M$ fissato ad una distanza $\ell<R$ dall'asse del cilindro. Supponiamo che il corpo puntiforme sia soggetto alla forza di gravità di intensità $g$ lungo la verticale. Trovare le equazioni di Lagrange e di Hamilton, determinare per quali valori dei parametri $\alpha, \ell, R, g$ ci sono dei punti di equlibrio, e discuterne la stabilità.

Suggerimento: Parametrizzare la traiettoria del corpo puntiforme con

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x} & {\displaysty... ...theta \sin\alpha -\ell\cos(\theta+\alpha)} \end{array}\right.$$

da cui si ricava un'energia cinetica composta di due termini, uno corrispondente al moto di traslazione dell'asse del cilindro e l'altro al moto di rotazione del punto materiale attorno all'asse del cilindro, con momento d'inerzia $m\ell^2$.

(Soluzione)

Sistemi rotanti

Il formalismo lagrangiano si può utilizzare anche per sistemi nei quali non vale la conservazione dell'energia. Questo si verifica nei sistemi rotanti, in cui si suppone che la rotazione di una o più masse venga mantenuta da un ``motore'' esterno al sistema. Il sistema non essendo isolato, non c'è conservazione dell'energia, ma la funzione energia ha una derivata totale non nulla che rappresenta la potenza consumata dal motore che mantiene la rotazione.

Supponiamo che la rotazione avvenga attorno all'asse $z$, cioè su di una superficie di rotazione di equazioni

$${r=r(q)}\hspace{5mm},\hspace{5mm}{z}={z(q)}$$

con rotazione a velocità angolare $\omega$ mantenuta costante, cioè

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle x(q,t)} & {\displ... ...} & {\displaystyle=} &{\displaystyle z(q)} \end{array}\right.$$

Il formalismo lagrangiano suggerisce di calcolare l'energia cinetica di un corpo puntiforme di massa $m$ che si muova rispettando questo vincolo: calcoliamo la derivata totale della parametrizzazione

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...laystyle=} &{\displaystyle z'(q)\, \dot q} \end{array}\right.$$

e l'energia cinetica, che si semplifica per la cancellazione dei doppi prodotti

$$T(q,\dot q)= \frac m2 \; \left\{ \left[ r'(q)\right]^2 + \l... ... q^2 + \frac m2 \;\omega^2\,r^2(q)= T_2(q,\dot q) + T_0(q) \ .$$

Si noti che l'energia cinetica è la somma di due parti, una $T_2$ quadratica omogenea in $\dot q$, con un coefficiente di $\dot q^2$ funzione di $q$, e una $T_0$ di grado zero in $\dot q$. Si noti che il coefficiente di ${\dot q}^2$ nell'energia cinetica è positivo purchè la curva $(r(q), z(q))$ sia regolare. Inoltre l'energia cinetica non dipende direttamente da $t$, cioè $\partial T/\partial t=0$. Se supponiamo che al corpo puntiforme vengano applicate delle forze con un'energia potenziale $W(x,y,z)$ tale che la funzione composta con la parametrizzazione del vincolo non dipende dal tempo, cioè

$$W(x(q,t),y(q,t),z(q,t))=V(q)$$

come accade se $W$ dipende solo da $z$ (esempio standard: $W=m\,g\,z$), allora si ottiene una lagrangiana indipendente dal tempo:

$$L=T-V= T_2+T_0-V\ .$$

Si può quindi scrivere l'equazione di Lagrange, la cui interpretazione in termini di meccanica newtoniana è la seguente: il moto ``lungo il vincolo'' è governato dalle equazioni di Newton, le reazioni vincolari e l'azione del motore sull'asse di rotazione compensano lo sbilanciamento nelle altre equazioni di Newton.

Il sistema così ottenuto è comunque integrabile: infatti la trasformazione di Legendre e la sua inversa

$$p=a(q)\, \dot q \hspace{5mm},\hspace{5mm}\dot q = \frac p{a(... ...ft\{ \left[ r'(q)\right]^2 + \left[ z'(q)\right]^2 \right\}\ ,$$

purchè $a(q)>0$, portano a definire una funzione di Hamilton

$$\begin{eqnarray*} H(p,q)&=& p\,\dot q -L = \frac {p^2}{a(q)}- \frac {p^2}{2\,a(... ...) +V(q)=\\ &=&\frac {p^2}{2\,a(q)}- T_0(q) +V(q)= T_2-T_0 +V(q) \end{eqnarray*}$$

la quale è un integrale primo per le equazioni di Hamilton. Ciò significa che la funzione composta ottenuta sostituendo nella funzione di Hamilton $p=p(\dot q)$ è un integrale primo anche per l'equazione di Lagrange, ma questo integrale primo non deve essere interpretato come energia. Infatti l'energia totale è $T+V$, cioè

$$E(q,\dot q)= T_2+T_0+V = H + 2\,T_0$$

che non è conservata:

$$\dot E = \dot H + 2\, \dot T_0= 2\, \dot T_0\ .$$

Si può verificare che la potenza richiesta al motore esterno che mantiene la rotazione altro non è che $\omega^2 dI/dt$ dove $I=m\, r^2$ è il momento di inerzia del corpo puntiforme rispetto all'asse fisso di rotazione.

Un punto di vista alternativo è quello di considerare un vincolo piano nel sistema rotante, usando le coordinate $(r,z)$. La lagrangiana come funzione di $(q,\dot q)$ resta la stessa, ma l'energia cinetica è solo $T_2$ e il termine $-T_0$ della hamiltoniana $H$ si interpreta come energia potenziale $-m \,\omega^2\,r^2/2$ associata alla forza centrifuga di intensità $m\omega^2\,r$.

Esercizio

Consideriamo il toro ottenuto come figura di rotazione, cioè facciamo ruotare la circonferenza

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle r} & {\displaysty... ...isplaystyle=} &{\displaystyle R\, \sin q} \end{array}\right.$$

con $S,R$ costanti, $S>R$, attorno all'asse $z$ con velocità angolare costante $\omega$. Consideriamo il moto di un punto materiale di massa $m$ soggetto alla forza di gravità rivolta verso le $z$ negative e di intensità $g\,m$. Si scrivano la lagrangiana, l'equazione di Lagrange, la hamiltoniana e le equazioni di Hamilton, l'energia totale. (Soluzione)

Esempio:

Supponiamo che la curva che viene fatta ruotare sia un grafico della forma $z=f(r)$; si richiede che $f(r)$ sia una funzione di classe $C^2$. Si noti che in questo caso si può usare la coordinata $r$ anche per $r<0$. Applicando le formule qui sopra si trova che l'energia cinetica di un corpo puntiforme di massa $m$ vincolato a questa curva ruotante con velocità angolare costante $\omega$ è

$$T=\frac m2\; \left\{ 1 + \left[f'(r)\right]^2 \right\}\, \dot r^2 + \frac m2 \, \omega^2\, r^2\ .$$


Supponendo un'energia potenziale $W=m\,g\,z$ si ottiene la lagrangiana

$$L(r,\dot r)= \frac m2\; \left\{ 1 + \left[f'(r)\right]^2 \right\}\, \dot r^2 + \frac m2 \, \omega^2\, r^2 -m\,g\, f(r) \ .$$


La trasformazione di Legendre

$$p=m\;\left\{ 1 + \left[f'(r)\right]^2 \right\}\,\dot r$$




$$H(p,r)= \frac {p^2}{2\,m\; \left\{ 1 + \left[f'(r)\right]^2 \right\}} - \frac m2 \, \omega^2\, r^2 + m\,g\, f(r)$$


consente di scrivere le equazioni di Hamilton. I punti di equilibrio si calcolano facilmente, poichè la prima equazione è lineare in $p$:

$$\dot q= \frac{\partial {H}}{\partial {p}} = \frac p{m\; \left\{ 1 + \left[f'(r)\right]^2 \right\}}=0$$


implica $p=0$ e quindi si può calcolare la condizione per $\dot p=0$ soltanto sulla retta $p=0$:

$$\left. \dot p\right\vert _{p=0} = -\left. \frac{\partial {H}... ...tial {r}}\right\vert _{p=0} = -m\,\omega^2\, r + m\,g\,f'(r)=0$$


da cui la condizione di equilibrio:


$$\omega^2\, r = g\,f'(r)$$


esprime il bilanciamento tra la forza centrifuga e la componente della forza di gravità lungo il vincolo.

Esercizio Supponiamo che la curva ruotante con velocità angolare costante $\omega$ nel piano verticale sia $z=k\,r^2$, la massa $m$ e l'energia potenziale $m\,g\,z$. Per quali valori dei parametri $\omega, g, k$ il punto di equilibrio $r=0, p=0$ è stabile? (Soluzione)

Esercizio Supponiamo che la curva ruotante con velocità angolare costante $\omega$ nel piano verticale sia $z=\cos(r)$ (come le rigature di un vecchio disco). Al disco sia appoggiato un corpo puntiforme di massa $m$ con l'energia potenziale $m\,g\,z$. Scrivere l'equazione di Lagrange e le equazioni di Hamilton. Descrivere i punti di equilibrio stabili e instabili del sistema. Si provi in particolare che per $\omega^2/g$ abbastanza grande, per esempio per $\omega^2/g>1/\pi$, non ci sono punti di equilibrio. (Soluzione)

Diagrammi di biforcazione

Si consideri un sistema hamiltoniano ad un grado di libertà con coordinata $q$. Sia $J$ un parametro reale al variare del quale può cambiare il numero dei punti di equilibrio. Il diagramma di biforcazione è un grafico nel piano $(J,q)$ che rappresenta il valore delle configurazioni di equilibrio in corrispondenza a $J$. Possiamo indicare anche la stabilità di tali configurazioni adottando per esempio la convenzione di usare una curva continua per l'$i$-mo equilibrio $q_i=q_i(J)$ negli intervalli in cui questo è stabile ed una curva tratteggiata quando è instabile.

Esempio:

Sia dato un corpo puntiforme di massa $m$, vincolato a muoversi su di una curva di equazione $r=q,\,z=1-\exp(-q^2/2)$ nel piano verticale, rotante attorno all'asse $z$ con velocità angolare costante $\omega$, e soggetto ad un'accelerazione di gravità rivolta verso il basso e di intensità $g$.

Nel sistema di riferimento ruotante l'energia cinetica e potenziale, in funzione di $q, \dot q$, sono rispettivamente


$$T(q,\dot q)= \frac 12\,m\,\dot q^2\, \left(1 + q^2\exp(-q^2)\right)\ ,$$




$$V(q)= m\,g\,\left(1-\exp(-q^2/2)\right) - \frac 12 m\,\omega^2\,q^2$$


e la funzione di Lagrange è $L=T-V$. Il momento è

$$p=\frac{\partial {L}}{\partial {\dot q}}= m\,\dot q \, \left(1 + q^2\exp(-q^2)\right)\ ,$$


quindi la funzione di Hamilton è

$$H(p,q) = \frac{p^2}{2\,m\,\left(1 + q^2\exp(-q^2)\right)} + V(q) \ .$$


I punti di equilibrio del sistema hamiltoniano sono solo per $\dot q=0 \Longrightarrow p=0$, quindi i valori di $q$ corrispondenti agli equilibri soddisfano all'equazione

$$\left.\dot p\right\vert _{p=0}= m\,\omega^2\,q -m\,g\,q\exp(-q^2/2)=0$$


con soluzioni $q=0$ e $q_{1,2}=\pm\sqrt{-2\log(\frac{\omega^2}{g})}$, che esistono solo per $J=\omega^2/g<1$. Per studiare la stabilità dei punti di equilibrio, chiamiamo $A(q)$ lo Jacobiano del campo vettoriale hamiltoniano per $p=0$ e valutiamone il determinante nelle configurazioni di equilibrio $q=0,q_{1,2}$:

$$det A(0) =g-\omega^2 \hspace{5mm},\hspace{5mm} det A(q_{1,2}) =-\frac{\omega^2\,q^2_{1,2}\,g^2}{g^2+q_{1,2}^2\,\omega^4} \ .$$


Usando $J=\omega^2/g$ come parametro di biforcazione, $det A(0)=g(1-J)$, quindi il punto $(0,0)$ è stabile se $J<1$ ed instabile se $J>1$. Inoltre $det(A(q_{1,2}))<0$, quindi i punti $(0,q_{1,2})$ quando esistono sono instabili.

Figura 5.8: Diagramma di biforcazione dell'esempio nel testo. Il numero di punti di equilibrio cambia solo per il valore $J=1$ del parametro di biforcazione.

Forze non differenziabili

La condizione che la funzione di Hamilton, e quella di Lagrange, siano di classe $C^2$, è conveniente ma non è indispensabile. Il teorema di esistenza e unicità richiede che il secondo membro di un sistema dinamico sia una funzione lipschitziana, quindi continua ma non necessariamente differenziabile. Per esempio, in un sistema hamiltoniano (proveniente da uno newtoniano) $H(p,q)=p^2/2+V(q)$, supponiamo che $f(q)=-V'(q)$ sia $C^1$ ovunque salvo che in un numero finito di punti, nei quali ammette derivata destra e sinistra. La funzione $f(q)$ risulta comunque localmente lipschitziana, e l'esistenza e unicità della soluzione sono assicurate anche quando essa passa da questi punti singolari.

Figura 5.9: Il piano delle fasi delle variabili $(p,q)$ per un sistema newtoniano con forza pari a meno il modulo della coordinata $q$. Tutte le soluzioni sono definite per ogni $t$, e tutte tranne tre orbite hanno insiemi limite vuoti (cioè vanno all'infinito).

Esempio:

Consideriamo l'energia potenziale $V(q)=q\,\vert q\vert/2$, che è $C^1$ e con derivata $V'(q)=\vert q\vert$, che è lipschitziana (con costante di Lipschitz 1). Ne segue che sia il sistema hamiltoniano

$$\dot p=-\vert q\vert \hspace{5mm},\hspace{5mm}\dot q=p$$


sia il sistema lagrangiano

$$\ddot q = -\vert q\vert$$


hanno soluzioni ben definite ed uniche per ogni condizione iniziale, comprese quelle con $q(0)=0$. Lo studio delle linee di livello

$$H(p,q)= \frac {p^2}2 +\frac{q\,\vert q\vert}2=E$$


mostra che c'è un insieme di livello per $E=0$ che non è una curva regolare, ed è una separatrice che consiste di tre traiettorie, cioè il punto di equilibrio, una con l'equilibrio come $\alpha$ limite ed una con l'equilibrio come $\omega$ limite. Tutte le altre orbite hanno per immagine curve aperte.