3.4 SISTEMI NEWTONIANI

Sommario I sistemi newtoniani sono quelli in cui è assegnata un'accelerazione; si riducono a sistemi dinamici introducendo come variabili sia la posizione che la velocità. La funzione energia è conservata oppure dissipata, e le sue proprietà di monotonia forniscono la funzione di Lyapounov e gli insiemi invarianti.

Sistemi conservativi ad un grado di libertà

Il caso in cui è più semplice costruire una funzione di Lyapounov è quello del sistema newtoniano ad un grado di libertà, che è un'equazione differenziale di ordine 2 in ${\bf R}$:

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} = f(x)$$

con $f(x)$ una funzione di classe $C^1$ su un intervallo $(a,b)$ (eventualmente $a=-\infty$, $b=+\infty$). L'ipotesi $f$ di classe $C^1$ si può anche rilassare, come si vedrà nella Sezione 5.2.

Si scrive anche $\ddot x= f(x)$, usando la notazione $\ddot x=d^2x/dt^2$ per indicare la derivata seconda della coordinata $x$, ed anche la derivata totale seconda di una qualsiasi funzione di $x,y$:

$$\ddot G(x,y)= \frac{d^2{G(x(t),y(t))}}{d{t}^2} \ .$$

Ponendo $\dot x=y$ si ottiene un sistema dinamico in ${\bf R}^2$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...{\displaystyle=} &{\displaystyle f(x)} \end{array}\right. \ .$$

Questi sistemi newtoniani ad un grado di libertà hanno sempre un integrale primo. Infatti se $E(x,y)$ è una funzione $C^1$:

$$\dot E = \frac{\partial {E}}{\partial {x}} \, \dot x + \frac... ...\partial {x}} \, y + \frac{\partial {E}}{\partial {y}} \, f(x)$$

e quindi si ottiene $\dot E=0$ ponendo, per esempio:

$${\frac{\partial {E}}{\partial {x}}}={-f(x)}\hspace{5mm},\hspace{5mm}{\frac{\partial {E}}{\partial {y}}}={y}$$

da cui:

$$E(x,y)=\frac 12 \,y^2 -\int f(x)\,dx$$

I due addendi di $E$ possono essere interpretati come energia cinetica (si intende per unità di massa) $T(y)=y^2/2$ ed energia potenziale $V(x)=-\int f(x)\,dx$ , e quindi $E=T+V$ è l'energia totale; il fatto che essa sia costante costituisce l'integrale dell'energia.

L'energia $E$ è costante su ogni soluzione, e può essere impiegata per costruire funzioni di Lyapounov:

Nel sistema newtoniano $\ddot x= f(x)$ ad un grado di libertà, se $x_0$ è un punto in cui $V=-\int f(x)\,dx$ ha un minimo locale forte, allora $x=x_0,\;\dot x =y=0$ è un punto di equilibrio stabile ma non asintoticamente stabile.

Dimostrazione:

Scegliamo la costante della primitiva che definisce l'energia potenziale in modo che $V(x_0)=0$; questo si ottiene con la funzione integrale:

$$V(x)=-\int_{x_0}^x\;f(s)\,ds$$



allora $E$ è una funzione di Lyapounov per il punto di equilibrio $(x_0,0)$. Infatti $\dot E=0$, $E(x_0,0)=0$ ed $E(x,y)\geq V(x)> 0$ in un intorno. Perciò il punto di equilibrio è stabile.

D'altro canto non può accadere che $(x_0,0)$ sia un punto limite per $t\to +\infty$; altrimenti si avrebbe su quella soluzione $E\to 0$, quindi (essendo $E$ costante sulle soluzioni) $E=0$, mentre in tutti i punti di un intorno di $(x_0,0)$ (escluso il punto stesso) si ha $E>0$.

 C.D.D.

Si noti che se il minimo è non degenere, cioè $-f'(x_0)=V''(x_0)>0$, allora il sistema linearizzato in $(x_0,0)$ è del tipo centro:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \frac{d{(x-x_0)}}... ...laystyle=} &{\displaystyle f'(x_0)(x-x_0)} \end{array}\right.$$

con matrice jacobiana ed equazione caratteristica:

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {f'(x_0)}&{0}\end{array}\right] \hspace{5mm},\hspace{5mm}\lambda^2-f'(x_0)=0$$

con radici immaginarie pure $\pm J\, \nu$; le parti immaginarie sono frequenze $\nu=\sqrt{-f'(x_0)}$. Dunque gli esponenti di Lyapounov sono zero, eppure si riesce a dimostrare che il punto di equilibrio è stabile. Inoltre il teorema di stabilità di Lyapounov si applica anche al caso di un minimo degenere, con $f'(x_0)=0$.

Vale il teorema inverso, dimostrato da Cetaev: se $f(x_0)=0$, ma $x_0$ non è un punto di minimo locale dell'energia potenziale, allora $(x_0,0)$ è un punto di equilibrio instabile. La dimostrazione è tutt'altro che banale.

I sistemi newtoniani ad un grado di libertà sono integrabili in un senso che sarà precisato nella Sezione 5.2. Il comportamento qualitativo delle soluzioni, non solo nell'intorno dei punti di equilibrio stabili ma globalmente, può essere descritto tracciando le curve di livello della funzione energia nel piano $(x,y)$. Per questo si può utilizzare il metodo grafico seguente: si disegni il grafico della funzione $z=V(x)$, utilizzando la conoscenza del segno della sua derivata $-f(x)$ (attenzione al segno $-$).

Ad ogni minimo di $V(x)$, cioè per esempio ad ogni punto $x_0$ in cui $f(x)$ passa da positiva a negativa, corrisponde un punto di minimo di $E(x,y)$, quindi un punto di equilibrio stabile del sistema dinamico. Approssimando $V(x)$ con il suo sviluppo di Taylor, con centro $x_0$, fino al secondo ordine:

$$\begin{eqnarray*} E(x,y)&=&\frac {y^2}2+ V(x_0)+ V'(x_0)(x-x_0)+ \frac 12\,V''(... ... &=&\frac {y^2}2 +V(x_0) -\frac 12 \,f'(x_0)(x-x_0)^2 + \ldots \end{eqnarray*}$$

Le curve di livello di $E(x,y)$ corrispondenti a valori immediatamente superiori al minimo si chiudono attorno al minimo, come in Figura 3.1 a destra, approssimativamente come ellissi:

$$-f'(x_0)(x-x_0)^2+ y^2=cost>0 \ \ ,\ con\ -f'(x_0)>0\;.$$

Figura 3.1: Curve di livello nel caso di un massimo non degenere e di un minimo non degenere dell'energia potenziale.

Analogamente, ad ogni massimo non degenere di $V(x)$ corrisponde un punto stazionario di $E(x,y)$ che non è di estremo ma di sella; le curve di livello si comportano, in un intorno della sella, come in Figura 3.1 a sinistra, cioè approssimativamente come le iperboli

$$-f'(x_0)(x-x_0)^2+ y^2=cost>0 \ \ ,\ con\ -f'(x_0)<0\;.$$

Se si linearizza il sistema newtoniano nel punto di equilibrio $(x_0,0)$, dove $x_0$ è un punto di massimo non degenere di $V(x)$, si ottiene l'equazione caratteristica e gli autovalori

$$\lambda^2-f'(x_0) =0 \hspace{5mm},\hspace{5mm}\lambda= \pm \sqrt{f'(x_0)}$$

reali di segno opposto, cioè un punto di equilibrio di tipo sella.

Il termine `sella' si usa sia per i punti stazionari delle funzioni di due variabili con matrice hessiana ad autovalori discordi, sia per i punti di equilibrio dei sistemi dinamici il cui linearizzato ha matrice ad autovalori discordi. Per i sistemi newtoniani le due condizioni coincidono, quindi l'uso della stessa parola non genera ambiguità.

Le curve di livello $E(x,y)=c$ incrociano la retta $y=0$ nei punti $x_1$ in cui $V(x_1)=c$, con tangente verticale se $f(x_1)\neq 0$. Se invece $f(x_1)=0$ la curva di livello non è regolare in $(x_1,0)$; se $V(x_1)$ è un massimo, si ha un punto di sella a cui arrivano quattro rami di curva di livello, con due tangenti distinte.

Figura 3.2: Curve di livello nel caso di un massimo degenere e di un flesso a tangente orizzontale dell'energia potenziale.

Nel caso ``eccezionale'' che l'energia potenziale abbia un punto stazionario degenere, con $V'(x_0)=-f(x_0)=0$ e anche $V''(x_0)=-f'(x_0)=0$, l'espansione di Taylor della funzione $E(x,y)$ in $(x_0,0)$ comincia con:

$$E(x,y)=V(x_0)+\frac 12\,y^2 - \frac{(x-x_0)^m}{m!}\, f^{(m-1)}(x_0)+ \ldots$$

con $m>2$, e la curva di livello $E=c$ può essere approssimata, in un intorno di $(x_0,0)$, con

$$y=\pm \sqrt{2c-2V(x_0)+2\frac{(x-x_0)^m}{m!}\, f^{(m-1)}(x_0)}$$

che è una cuspide per $m$ dispari ed una coppia di curve con tangenti orizzontali coincidenti per $m$ pari ed $f^{(m-1)}(x_0)>0$, come in Figura 3.2.

Figura 3.3: Curve di livello dell'energia in un sistema newtoniano tracciate a partire dal grafico dell'energia potenziale.

Si possono costruire graficamente in modo globale le curve di livello $E(x,y)=c$ tracciando la retta $z=c$ nel piano $(x,z)$ e facendo corrispondere ad ogni punto del grafico $z=V(x)$ che sta 'sotto' la retta ($z<c$) una coppia di punti nel piano $(x,y)$ con la regola:

$$y=\pm\sqrt{2c-2V(x)}$$

In questo modo si ottengono due archi di curva, simmetrici rispetto alla retta $y=0$ il cui andamento come grafico $y=y(x)$ rispecchia gli alti e bassi del grafico $z=V(x)$ (al contrario, per $y>0$), come in Figura 3.3.

Esempio:

Figura 3.4: Pendolo nonlineare conservativo, per $g/\ell =1$; la figura è periodica di periodo $2\pi$ nella variabile $x$.


Per il pendolo di equazione

$$\ddot \theta = -\frac g{\ell} \, \sin \theta$$


con $g,\ell>0$, il sistema dinamico si ottiene usando come seconda variabile la velocità angolare $\omega=\dot \theta$

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot \theta} & {... ...\displaystyle -\frac g{\ell}\,\sin\theta} \end{array}\right.$$


e l'integrale dell'energia è:

$$E(\theta,\omega)=\frac 12 \, \omega^2 - \frac g{\ell}\, \cos\theta +\frac g{\ell}\; ,$$


dove si noti che abbiamo scelto la costante arbitraria in modo che $E(0,0)=0$. I punti stazionari dell'energia potenziale $V(\theta)=(-g/\ell)\,\cos\theta$ sono $\theta=m\,\pi$ per ogni $m$ intero. Per $m$ pari $V(\theta)$ ha un minimo (non degenere) e quindi i punti $(\theta,\omega)=(2k\pi,0)$, con $k$ intero, sono di equilibrio stabile, per cui $E$ funge da funzione di Lyapounov. Invece i punti $((2k+1)\pi,0)$ sono di sella.

Per studiare globalmente le curve di livello, si traccino per prime le curve di livello con $E(\theta,\omega)=2\,g/\ell$, che congiungono i punti di sella (sono separatrici), come in Figura 3.4. Le curve di livello con $0<E<2\,g/\ell$ sono curve chiuse che circondano ciascun equilibrio stabile; per $E=0$ si hanno i punti di minimo, cioè gli equilibri stabili (con il pendolo rivolto verso il basso). Per $E>2\,g/\ell$ si ottengono due curve, una contenuta tutta nel semipiano $y>0$ ed una tutta nel semipiano $y<0$.

Esercizio Studiare l'equazione $\ddot x=f_j(x)$ nei casi

1. $f_1(x)=(1-x^2)/(1+x^2)^2$
2. $f_2(x)=2/x^3 -1/x^2$ per $x>0$ .

(Soluzione)

Problema Si descrivano tutti i casi qualitativamente differenti di sistema newtoniano $\ddot x= f(x)$ in cui $f(x)$ è un polinomio di terzo grado.

Suggerimento: $f(x)=a\, x^3+b\,x^2+c\,x +d$, possiamo supporre $a\neq 0$.

(Soluzione)

Sistemi con dissipazione

Un altro tipo di sistema dinamico per cui la costruzione di una funzione di Lyapounov è automatica è il sistema dissipativo a un grado di libertà, che si ottiene aggiungendo ad un sistema newtoniano un termine di dissipazione, che è funzione della derivata prima. Per esempio, la dissipazione può essere costituita da un'accelerazione di segno tale da resistere al moto e di intensità proporzionale alla velocità: si ottiene così un'equazione differenziale di ordine 2 in ${\bf R}$:

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} = f(x)-\gamma \frac{d{x}}{d{t}}$$

con $\gamma>0$ un coefficiente di dissipazione ed $f(x)$ una funzione di classe $C^1$ su di un intervallo $(a,b)$ (eventualmente $a=-\infty$, $b=+\infty$). Ponendo $\dot x=y$ si ottiene un sistema dinamico in ${\bf R}^2$:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...playstyle=} &{\displaystyle f(x)-\gamma y} \end{array}\right.$$

Si utilizza come funzione di Lyapounov la stessa funzione energia del caso senza dissipazione:

$$E(x,y)=\frac 12 \,y^2 -\int f(x)\,dx$$

che però non è più un integrale primo:

$$\dot E = \frac{\partial {E}}{\partial {x}} \, \dot x + \frac... ...\dot y= -f(x)\,y + y \, (f(x) -\gamma\,y)= -\gamma\,y^2\leq 0$$

ma è una funzione non crescente sulle orbite.

I punti di equilibrio sono i punti dell'asse $x$ corrispondenti ai punti stazionari di $V(x)$. Se $x_0$ è tale che $f(x_0)=0$, il sistema linearizzato in $(x_0,0)$ è

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \frac{d{(x-x_0)}}... ...\displaystyle f'(x_0)(x-x_0)-\gamma\,y} \end{array}\right.\;,$$

con matrice jacobiana ed equazione caratteristica

$$A=\left[\begin{array}{cc}{0}&{1}\\ {f'(x_0)}&{-\gamma}\end... ...pace{5mm},\hspace{5mm} \lambda^2+\gamma\,\lambda-f'(x_0)=0\; ;$$

per $f'(x_0)>0$ gli autovalori sono reali discordi, per cui si ha ancora un punto di equilibrio di tipo sella nonlineare. Invece per $f'(x_0)<0$ (cioè quando $x_0$ è un punto di minimo non degenere per $V(x)$), gli autovalori sono complessi coniugati $-\gamma/2\pm J\, \nu$, con frequenza dell'oscillazione smorzata $\nu=\sqrt{\vert f'(x_0)+\gamma^2/4\vert}$: dunque gli esponenti di Lyapounov sono negativi, ed il punto di equilibrio è un pozzo, in particolare asintoticamente stabile.

Poiché $E(x,y)-E(x_0,0)$ è una funzione di Lyapounov, il teorema di stabilità di Lyapounov assicura che i punti di equilibrio corrispondenti ai minimi di $V(x)$ sono stabili. Questo è vero anche per i minimi degeneri, a cui non si applica il ragionamento precedente.

Esempio:

Prendiamo un sistema dissipativo con energia potenziale $V(x)$ definita per ogni $x$ in ${\bf R}$, e tale che $V(x)\to+\infty$ per $x\to \infty$. L'insieme $Q_k\subset {\bf R}^2$ in cui $E(x,y)=1/2\, y^2+V(x)\leq k$ è compatto e non vuoto, se $k$ è maggiore del minimo assoluto di $V(x)$. Ciascuno dei $Q_k$ è positivamente invariante.

Infatti la soluzione con condizione iniziale $(x_0,y_0)$ in $Q_k$ non può uscire da $Q_k$ perché $E(x(t),y(t))$ è non crescente; la soluzione non esce da un compatto e quindi, per il teorema di continuazione delle soluzioni, è definita per ogni $t\geq 0$.

Nei sistemi dissipativi si può facilmente utilizzare il teorema della funzione di Lyapounov decrescente. Infatti se l'energia potenziale $V(x)$ ha un minimo (locale forte) in $x=x_0$, anche la funzione energia $E(x,y)=1/2\, y^2+V(x)$ ha un minimo in $(x_0,0)$; ne segue che la componente connessa di $(x_0,0)$ dell'insieme $E(x,y)\leq k$, con $k$ un valore appena superiore al minimo, è positivamente invariante e contiene un solo punto di equilibrio.

La funzione energia non è una funzione di Lyapounov stretta, infatti $\dot E=-\gamma\, y^2$ si annulla per $y=0$. Quasi tutte le soluzioni attraversano la retta $y=0$ trasversalmente, cioè con $\dot y\neq 0$, e quindi la funzione $E(x(t),y(t))$ ha in questi punti derivata nulla per un valore isolato di $t$ e non cessa di essere decrescente in senso stretto. Quindi si può applicare il teorema e concludere che tutti i punti di minimo di $V(x)$ corrispondono a punti di equilibrio asintoticamente stabili, anche se sono minimi degeneri.

Esempio:

Figura 3.5: Pendolo nonlineare con dissipazione, per $g/\ell =1, \gamma =0.1$; la figura è periodica di periodo $2\pi$ nella variabile $\theta$.



Continuiamo lo studio qualitativo del pendolo nonlineare con dissipazione usando il ragionamento precedente. La funzione energia


$$E(\theta,\omega)=\frac 12 \, \omega^2 - \frac g{\ell}\, \co... ...} \hspace{5mm},\hspace{5mm}\dot E = -\gamma\, \omega^2\leq 0$$


è non crescente e quindi gli insiemi

$$Q_k=\{(\theta,\omega)\in {\bf R}^2 \vert E(\theta,\omega)\leq k\}$$


sono positivamente invarianti (in questo caso non sono compatti, se si considera che $\theta\in {\bf R}$; però sono compatti se consideriamo che $\theta$ è una variabile angolo $\theta\in S^1$). In particolare per $k<2\,g/\ell$ l'insieme $Q_k$ consiste di infinite componenti connesse, ciascuna delle quali è positivamente invariante (una sola componente connessa se $\theta\in S^1$) e contiene soltanto un punto di equilibrio $\omega=0,\; \theta=2m\pi$, con $m$ intero.

Per applicare il teorema della funzione di Lyapounov decrescente basta far vedere che un insieme $Q_k$, con $k<2\,g/\ell$, contiene solo orbite su cui $E(\theta, \omega)$ è decrescente. Infatti $\dot E=-\gamma\,\omega^2$ si annulla solo per $\omega=0$, ma quasi tutte le soluzioni attraversano la retta $\omega=0$ trasversalmente, con $\dot \omega\neq 0$, e quindi la funzione $E(\theta(t),\omega(t))$ ha in questi punti derivata nulla per un valore isolato di $t$ e non cessa di essere decrescente in senso stretto. Fanno eccezione solo i punti di equilibrio di tipo sella in $\omega=0,\; \theta=(2m+1)\pi$, con $m$ intero. Però i punti di equilibrio di tipo sella sono tali che $E((2m+1)\pi,0)=2\,g/\ell$, quindi sono fuori da $Q_k$ per $k<2\,g/\ell$.

Ne segue non solo che i punti di equilibrio $\omega=0,\; \theta=2m\pi$ con $m$ intero sono asintoticamente stabili (questo era già noto, visto che sono dei pozzi), ma anche che il loro bacino contiene una componente connessa di $Q_k$ per ogni $k$ con $-2\,g/\ell<k<+2\,g/\ell$. Se consideriamo degli insiemi $Q_k$ con $k>g/\ell$ (che sono connessi), essi sono positivamente invarianti ma contengono più punti di equilibrio, e quindi si decompongono nei diversi bacini, come si può vedere nella Figura 3.5.

La frontiera tra i bacini dei diversi pozzi (se li si considera diversi) consiste dei punti sulle separatrici; si veda la Sezione 3.6, e in particolare la Figure 3.10.

Esercizio Dati i sistemi newtoniani con dissipazione

$$\begin{eqnarray*} a)\ & \ddot x=& 3x^2-1 -\gamma \dot x \\ b)\ &\ddot x =& x^3-x^2-\gamma \dot x \end{eqnarray*}$$

con $\gamma>0$, trovare tutti i punti di equlibrio, e determinare quali sono pozzi, quali sorgenti e quali hanno un linearizzato di tipo sella. Per ogni pozzo, definire esplicitamente un intorno che faccia parte del bacino di attrazione. (Soluzione)