2.2 CONVERGENZA

Sommario Elenchiamo le proprietà più utili dell'esponenziale di matrici, a partire dalla sua convergenza. Le dimostrazioni di questi teoremi seguono dalla teoria della convergenza uniforme delle serie di funzioni, utilizzando la diseguaglianza di Cauchy. Le proprietà della funzione esponenziale sono conservate dall'esponenziale di matrici purché non dipendano dalla proprietà commutativa della moltiplicazione: in particolare l'esponenziale della somma è uguale al prodotto delle esponenziali solo se il prodotto commuta.

Convergenza dell'esponenziale

La convergenza dell'esponenziale di matrice può essere dimostrata come conseguenza della convergenza in norma della serie.

Sia $A$ una qualsiasi matrice quadrata $n\times n$. Allora la serie esponenziale:

$$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^jt^j}{j!}$$

• (i) Converge per ogni $t\in {\bf R}$, uniformemente su ogni compatto di ${\bf R}$.

• (ii) Il limite è una matrice funzione continua di $t$, per ogni $t\in {\bf R}$, che indichiamo con $\exp(A\,t)$.

Dimostrazione: Consideriamo la serie delle norme:

$$\sum_{j=0}^{\infty}\left\vert\left\vert\frac{A^jt^j}{j!}\right\vert\right\vert .$$

Usando la diseguaglianza che segue dalle proprietà della norma uniforme:

$$\vert\vert c(At)^j\vert\vert\leq \vert c\vert\,\vert\vert A\vert\vert^j\; \vert t\vert^j$$

si ottiene una serie numerica che maggiora termine a termine la serie delle norme:

$$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\vert\vert A\vert\vert^j\; \vert t\vert^j}{j!}= e^{\vert\vert A\vert\vert\, \vert t\vert}$$

(i)
La serie maggiorante converge in norma perché coincide con la serie di Taylor della funzione esponenziale di argomento scalare $\vert\vert A\vert\vert\; \vert t\vert$. Applicando il teorema di convergenza in norma ne segue la convergenza (uniformemente sui compatti di ${\bf R}$) della serie esponenziale di matrice.

(ii)
Per il teorema di convergenza delle funzioni continue l'esponenziale di matrice $\exp(A\,t)$, essendo limite di una serie uniformemente convergente di funzioni continue della variabile $t$, è una funzione continua su ogni compatto contenuto in ${\bf R}$, perciò è una funzione continua in ogni $t\in {\bf R}$.

 C.D.D.

Questo teorema basta a dimostrare l'esistenza del flusso integrale di un qualsiasi sistema dinamico continuo lineare $\dot X = A\, X$, che è la somma della serie convergente $\exp(At)\, X(0)$. Però calcolare esplicitamente tale soluzione non è immediato. Il procedimento di calcolo sarà spiegato nelle Sezioni 2.3, 2.4, 2.5.

Serie prodotto

Consideriamo due serie di matrici convergenti, della forma:

$$A(t)=\sum_{k=0}^\infty A_k\, t^k\hspace{5mm},\hspace{5mm}B(t)=\sum_{k=0}^\infty B_k\, t^k .$$

Vogliamo sapere sotto quali condizioni si potrà ricavare dalle due serie con somme $A(t)$ e $B(t)$ una serie con per somma il prodotto di matrici $A(t)\, B(t)$.

La dipendenza dalla variabile $t$ non è veramente essenziale in questo ragionamento, che può essere svolto sostituendo $t=1$; ma come vedremo questa semplificazione renderebbe meno comprensibile il procedimento.

Definizione:

Si dice serie prodotto secondo Cauchy delle due serie per $A(t)$ e $B(t)$ la serie


$$\sum_{r=0}^\infty C_r\,t^r =C(t) \hspace{5mm},\hspace{5mm}C_r=\sum_{k=0}^r A_k\, B_{r-k}$$



Questa definizione si ottiene riordinando le somme parziali del prodotto delle due serie secondo il grado in $t$.

Le condizioni di convergenza della serie, ad una funzione continua $C(t)$, sono descritte dal teorema del prodotto secondo Cauchy. Per l'applicazione che ci interessa, basta sapere che se le due serie per $A(t)\, B(t)$ convergono in norma per ogni $t\in {\bf R}$, allora la serie prodotto converge in norma, quindi anche converge per ogni $t\in {\bf R}$, e la sua somma $C(t)=A(t)\, B(t)$.

Se due matrici quadrate $n\times n$, $A$ e $B$, commutano tra loro, cioè $A\,B=B\,A$, allora l'esponenziale della somma è il prodotto delle esponenziali:

$$\exp(A\,t + B\, t)= \exp(A\,t)\;\exp(B\,t) .$$

Dimostrazione:

Per definizione l'esponenziale della somma è descritto dalla serie:

$$\exp(A\,t+B\,t)=\sum_{r=0}^\infty \frac{(A+B)^r\,t^r}{r!}\ .$$


Poiché le due matrici commutano, vale la formula del binomio di Newton:

$$(A+B)^r = \sum_{m=0}^r \left({r\atop m}\right)\, A^m\; B^{r... ...mm},\hspace{5mm} \left({r\atop m}\right)=\frac{r!}{m!(r-m)!}$$


e sostituendo nella serie dell'esponenziale della somma

$$\exp(A\,t + B\, t)= \sum_{r=0}^\infty \frac{t^r}{r!}\;r!\; \sum_{m=0}^r \frac{A^m}{m!}\;\frac{B^{r-m}}{(r-m)!}$$


si ottiene esattamente la serie prodotto secondo Cauchy delle due serie esponenziali; poiché tutte queste serie sono convergenti in norma, usando il teorema del prodotto secondo Cauchy si ricava:

$$\exp(A\,t + B\, t)= \left[\sum_{j=0}^\infty \frac{A^j\, t^j... ...0}^\infty \frac{B^m\, t^m}{m!}\right]= \exp(A\,t)\,\exp(B\,t)$$

 C.D.D.

La funzione a valori matriciali $\exp(A\,t)$ è derivabile, e la sua derivata è:

$$\frac{d{}}{d{t}} \exp(A\,t)=A\, \exp(A\,t)=\exp(A\, t)\,A$$

Dimostrazione:

Usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

$$\frac{d{}}{d{t}} \exp(A\,t)=\lim_{h\to 0} \frac{\exp(A\,t + A\,h)-\exp(A\,t)}h =$$


per il teorema della somma degli esponenti:

$$=\lim_{h\to 0} \frac{\exp(A\,t)\, \exp(A\, h)-\exp(A\,t)}h= \exp(A\,t)\;\lim_{h\to 0} \frac{\exp(A\, h)-I}h=$$


ora usiamo la serie esponenziale per espandere in potenze dell'incremento $h$:

$$=\exp(A\,t)\;\lim_{h\to 0} \frac{I+A\,h +O(h^2)-I}h=\exp(A\, t)\, A$$



Resta da verificare che $A$ commuta con $\exp(A\,t)$; in effetti $A$ commuta con $A^r$, quindi anche con ogni addendo della serie esponenziale, e poiché la moltiplicazione di matrici è un'operazione continua, la relazione di commutazione passa al limite.

 C.D.D.