ESERCIZIO 4.1 In termini della matrice compagna
dell'equazione, il problemi hanno soluzione
- Calcolando la forma canonica di
, risulta
quindi la successione di Fibonacci è calcolabile con
- Gli autovalori
di
sono complessi, e la forma canonica di
è la rappresentazione matriciale di
rispetto alla base costituita da parte reale e parte immaginaria di un autovettore di
:
Allora
e le orbite non sono in genere limitate.
- La molteplicità algebrica dell'unico autovalore
di
è 2, mentre l'autospazio ha dimensione 1, generato da
. La forma canonica è
Per
si calcola
, ovvero
Le orbite sono "rettilinee" se
: i punti della bisettrice sono punti fissi della mappa.
ESERCIZIO 4.2 La matrice
del sistema dinamico continuo e la matrice
del sistema dinamico discretizzato con il metodo di Eulero sono
con autovalori
e
, rispettivamente. Gli autospazi coincidono, cioè
è autovettore di autovalore
per
e di autovalore
per
;
è autovettore di autovalore
per
e di autovalore
per
. Quindi le condizioni iniziali parallele a
hanno limite
per
, tutte le altre tendono all'infinito, sia nel sistema continuo che in quello discreto.
ESERCIZIO 4.3 Il sistema dinamico discreto è:
con gli autovalori di
:
che sono gli inversi di quelli che si ottengono con le differenze in avanti. Perciò le soluzioni del sistema discretizzato decrescono come
e tendono a 0 per
.
PROBLEMA 4.4
Figura C.4:
Alcune orbite della mappa standard del problema dei due corpi. La curva di livello zero dell'energia ha proprietà analoghe a quelle di una separatrice.
 |
La mappa standard
ha il solo punto fisso
corrispondente al punto di equilibrio stabile (orbita circolare) del sistema continuo. A titolo di esempio, la Figura C.4 mostra il comportamento di alcune orbite per
. La curva continua è la curva di livello
.
ESERCIZIO 4.5 L'equazione alle differenze finite del secondo ordine
si riduce ad un sistema dinamico discreto usando, per esempio,
:
da cui
che ha come punti fissi
e
, coincidenti con i punti di equilibrio del sistema discreto. Il punto
è un pozzo per il sistema continuo, asintoticamente stabile anche per il sistema discreto per
abbastanza piccolo (si calcoli il polinomio caratteristico in
e in
). Il punto
ha per il sistema continuo un linearizzato degenere, e dallo studio delle curve di livello (localmente come nella Figura 3.2) si deduce che è instabile. Nel sistema discreto il linearizzato in
ha matrice
con autovalori
. perciò la mappa linearizzata è stabile, non asintoticamente stabile in questo punto. Dunque per quanto piccolo sia
non conosciamo, almeno con gli strumenti studiati in questo corso, le proprietà di stabilità in
del sistema discreto e non possiamo rispondere alla domanda.
ESERCIZIO 4.6 Se
allora
,
. Da
si deduce
da cui
,
.
ESERCIZIO 4.7 I seguenti programmi sono scritti seguendo la sintassi del linguaggio Matlab.
a) Il più semplice programma per eseguire esperimenti sulla mappa standard: stmap1.m . Uso: dare hold off per inizializzare la figura, e assegnare
; per ogni orbita, assegnare le condizioni
e il numero di iterate
e quindi eseguire stmap1.
b) Un semplice programma per il metodo simplettico a tre scorrimenti, sempre applicato alla discretizzazione del pendolo nonlineare: symp2.m . Uso: come sopra.
c) Idem per il metodo di Runge-Kutta implicito ad un passo intermedio: rkimp2.m .
d) Idem per il metodo di Runge-Kutta classico: rk4.m .
Andrea Milani
2009-06-01