Sommario Tutti sistemi di equazioni differenziali possono essere rese autonome, cioè indipendenti dal tempo, pur di considerare il tempo una variabile dinamica addizionale. Quando però la dipendenza dalle variabili dinamiche è lineare, mentre quella dal tempo e nonlineare, la linearità è una proprietà troppo utile nello studio delle soluzioni per rinunciarvi.
La teoria qualitativa esposta fino a questo punto consente di studiare sistemi dinamici invariabili nel tempo. In teoria, un sistema non autonomo , cioè con secondi membri dipendenti anche dal tempo:
con 
può essere ridotto, per
omogeneizzazione delle variabili, ad un sistema autonomo di
dimensione superiore, ponendo
Questo procedimento consente di ricondursi al caso già noto
dei sistemi dinamici, e quindi di applicare a questo caso
risultati importanti come il teorema di esistenza ed unicità
delle soluzioni.
Tuttavia, dal punto di vista del calcolo e dello studio delle
soluzioni, la omogeneizzazione non porta ad alcun vantaggio, visto che
la complessità di un sistema dinamico dipende dalla dimensione.
Inoltre trattare il tempo t come le altre variabili può far
perdere proprietà importanti.
Per esempio, se un sistema è lineare rispetto alle variabili 
,
ma nonlineare rispetto alla variabile tempo, ridursi ad un sistema
indipendente dal tempo fa perdere la proprietà di
linearità.
Definizione:
con 
,
il flusso integrale del sistema non autonomo è
la famiglia a due parametri 
di applicazioni
che per ogni tempo 
mandano la condizione iniziale
al tempo 
nel valore della corrispondente soluzione al
tempo t.
La definizione può essere estesa al caso di sistemi
qualunque (non necessariamente lineari): in genere non è
però assicurata l'esistenza di un unico I per ogni ;
per il teorema di
esistenza e unicità ,
potrà essere definito per 
in un
aperto di 
come applicazione tra sottoinsiemi aperti
dello spazio delle fasi 
.
Per l'unicità della soluzione passante per un punto ad un
tempo dato, se la soluzione con condizione iniziale è
definita anche per 
e 
, la
soluzione 
che passa per 
al
tempo 
coincide con quella che passa per al tempo
, cioè 
. In altri termini vale la
proprietà:
In particolare, è invertibile e 
.
Se valgono anche delle proprietà di linearità del secondo membro delle equazioni differenziali, l'omogeneizzazione non aiuta nello studio delle soluzioni. Conviene invece sfruttare al massimo le proprietà di linearità del flusso integrale, che conseguono dalla linearità del secondo membro rispetto alle variabili spaziali.
Proprietà:
allora il flusso integrale è una famiglia
a due parametri di applicazioni lineari, cioè esistono
delle matrici 
tali che
Infatti se 
sono due soluzioni e 
due costanti, 
è una soluzione,
con condizioni iniziali combinazione lineare delle
. Dunque l'applicazione 
è lineare ed è rappresentata da una matrice (in una base
assegnata).
Nel seguito potrà anche indicare - secondo il contesto -
una matrice 
che rappresenta l'operatore lineare stesso,
ovvero potranno coesistere le notazioni
L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema lineare omogeneo è quindi uno spazio vettoriale isomorfo allo spazio delle condizioni iniziali, quindi di dimensione n.
Ha quindi senso la definizione di un sistema fondamentale di soluzioni
Le soluzioni del sistema sono combinazioni lineari degli elementi di un sistema fondamentale di soluzioni.
Proprietà:
allora il flusso integrale potrà essere espresso come somma
del flusso integrale del corrispondente problema omogeneo
con una soluzione particolare 
del sistema non
omogeneo:
e inoltre la condizione iniziale soddisfatta da è 
.
Questo segue semplicemente dal fatto che se 
dove 
, allora anche X(t) soddisfa
all'equazione non omogenea, ed ha condizione iniziale Z(0).
L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo è quindi uno spazio affine , somma di un sottospazio vettoriale di funzioni (di dimensione n) con una funzione non appartenente ad esso.
Queste due proprietà elementari delle soluzioni di sistemi ed equazioni lineari non autonome sono alla base di tutta la discussione di questo capitolo.