2.1 ESPONENZIALE DI MATRICI

 

Sommario Vogliamo generalizzare la funzione esponenziale in modo che sia definita per argomenti matrici. Così come la funzione esponenziale di argomento reale risolve l'equazione differenziale dx/dt=x, l'esponenziale di matrici risolve il più generale sistema dinamico continuo lineare. Le proprietà dell'esponenziale di matrici sono strettamente analoghe a quelle della funzione esponenziale ordinaria, con qualche importante differenza che deriva dalla non commutatività del prodotto di matrici.

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Dato il sistema dinamico dell'esempio della Sezione 1.2:

con una costante, si può porre il problema in forma integrale:

Il metodo delle approssimazioni successive  consiste nel partire da un'approssimazione triviale come e nel definire per ricorrenza una successione di funzioni con l'operatore integrale della formula precedente:

Calcolando esplicitamente gli integrali, si trova:

e in generale:

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

Per dare un senso rigoroso all'uguale della formula qui sopra occorre verificare che la serie di funzioni è uniformemente convergente , e quindi per il teorema di completezza delle funzioni continue  la sua somma sarà una funzione continua.

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Consideriamo ora il caso generale di un sistema dinamico continuo lineare :

con , A di tipo . La forma integrale sarà:

ed il procedimento di approssimazioni successive:

Eseguendo esplicitamente gli integrali, si trova:

dove I è la matrice identità , e in generale:

Si noti che tutti questi passaggi sono del tutto identici a quelli del caso scalare, a parte la sostituzione delle lettere minuscole con le maiuscole. Questo è possibile perché in nessuno di questi passaggi si è usata la proprietà commutativa della moltiplicazione, che non vale per il prodotto di matrici (e non ha neppure senso per il prodotto di matrici con vettori). Per ottenere questo risultato bisogna però tenere a destra della formula.

Perciò la soluzione sarà in qualche modo rappresentata dalla serie

La formula qui sopra può essere usata come definizione della funzione esponenziale di matrice  :

a condizione di provare che la serie è convergente.

Esempi

 

Esempio:

Se la matrice A è un multiplo della matrice identità: allora:



Quindi la soluzione di è

Esempio:

Supponiamo che la matrice A sia diagonale:



Allora il calcolo delle potenze della matrice è molto semplice:



e l'esponenziale di matrice è convergente per ogni :



Quindi la soluzione di con condizione iniziale X(0)=C è data da:

Esempio:

Se la matrice A è del tipo:



allora è nilpotente :



per cui l'esponenziale di matrice ha solo due termini:



quindi la soluzione di



con condizione iniziale è data da



La stessa soluzione si ottiene risolvendo per x e poi sostituendo nell'equazione per y.

Questi esempi sono abbastanza generali, nel senso che ci si può ricondurre a questi, o ad una combinazione di questi, per calcolare le esponenziali di matrice in tutti i casi in cui la matrice A ha autovalori reali; e quindi per risolvere molti sistemi dinamici continui lineari. Questo sarà dimostrato nelle Sezioni 2.3, 2.5.

Esercizio Scrivere le soluzioni del sistema dinamico continuo lineare nei seguenti casi:

Suggerimento: per la prima matrice usare le serie di Taylor

(Soluzione)