Sommario Il calcolo dell'esponenziale di matrice può essere eseguito in un diverso sistema di riferimento. Se il nuovo riferimento è costruito mediante gli autovettori della matrice data, il calcolo è più semplice; per una matrice diagonalizzabile (in campo reale) ci si riduce a calcolare l'esponenziale di una matrice diagonale.
Supponiamo di sottoporre il sistema dinamico lineare
ad un cambiamento di coordinate lineare :
Si suppone che la matrice B sia invertibile, 
.
Allora l'equazione differenziale si trasforma in questo modo:
cioè è ancora un sistema dinamico lineare, la cui matrice
è ottenuta per coniugio da A. Perciò la
soluzione del sistema trasformato, in funzione della
condizione iniziale 
sarà espressa mediante
l'esponenziale di matrice :
la relazione tra le soluzioni delle due equazioni per X e per Y è data da:
Per convincersi che la soluzione è la stessa, basta considerare che
e quindi
L'ultimo passaggio è lecito perché la moltiplicazione di
matrici è un'operazione continua e la serie esponenziale è
convergente. Si noti che le matrici che esprimono i flussi integrali
sono pure coniugate, ma il coniugio è eseguito con la matrice
, cioè con la matrice inversa di quella usata per la matrice
del sistema.
Esercizio Trovare il cambiamento di coordinate lineare che cambia
Si può quindi sempre studiare il sistema dinamico lineare
in un qualunque sistema di riferimento; la matrice A
si trasforma come la matrice di una trasformazione dello spazio
ambiente 
in sé, cioè per coniugio con la matrice che
esprime il cambiamento di coordinate. Perciò ha senso cercare un
sistema di coordinate in cui la trasformazione definita da A abbia
una forma semplice, risolvere il sistema dinamico lineare in quel
sistema di coordinate, e poi ritornare al sistema originale usando
la trasformazione inversa.
Poiché le proprietà geometriche (a meno di trasformazioni lineari di coordinate) dei sistemi dinamici lineari dipendono solo dalla classe di equivalenza della matrice A a meno di coniugio, è logico cercare di utilizzare le quantità che sono invarianti per coniugio, come gli autovalori ; si utilizzeranno quindi le nozioni di base della sezione B.1.
Definizione:
si dice diagonalizzabile
se esiste una base 
di autovettori
con autovalori reali 
..
In questo caso la matrice A è equivalente per coniugio ad una matrice diagonale:
con sulla diagonale principale gli autovalori 
. Infatti:
per definizione di
autovalore 
ed autovettore 
; mettendo insieme le
equazioni precedenti in forma matriciale, se V è la matrice
quadrata con colonne :
quindi l'applicazione, che
nella base canonica è espressa dalla matrice A, nella base
è espressa dalla matrice diagonale D.
Se gli autovalori sono tutti reali e distinti allora la matrice è diagonalizzabile: gli autovettori di autovalori diversi sono linearmente indipendenti, e quindi costituiscono una base.
Teorema del sistema diagonalizzabile :
Se la matrice A è diagonalizzabile, allora tutte le orbite del
sistema dinamico lineare si possono esprimere mediante
combinazioni lineari di funzioni esponenziali 
,
dove i coefficienti del tempo negli esponenti sono gli autovalori
della matrice A.
Dimostrazione:
(quelle ottenute usando gli
autovettori come base) il sistema dinamico consiste di
equazioni differenziali scalari disaccoppiate:
le cui soluzioni sono:
cioè
da cui si trova la soluzione nelle coordinate originali 
:
per cui ciascuna
coordinata 
è combinazione lineare di funzioni
esponenziali
Esempio:
per trovare gli autovalori si usa l'equazione caratteristica :
ottenuta eguagliando a zero il polinomio caratteristico ,
in questo caso un
polinomio di grado 2, i cui coefficienti sono espressi in termini
del determinante di A e della traccia di A ( 
):
Il numero di soluzioni reali e distinte dell'equazione caratteristica dipende in questo caso solo dal segno del discriminante dell'equazione di secondo grado:
Per 
ci sono due autovalori reali
distinti 
, e quindi due autovettori reali e
linearmente indipendenti 
e 
. Per 
gli
autovalori sono complessi, non possono esistere autovettori
reali, quindi l'applicazione definita dalla matrice A non potrà
essere in forma diagonale in nessun sistema di riferimento reale.
Esercizio
Scrivere esplicitamente il flusso integrale come combinazione di funzioni esponenziali. (Soluzione)
Esempio:
non si può decidere se la matrice è
diagonalizzabile soltanto dal valore di 
; nei due casi
seguenti:
la matrice A è diagonalizzabile (già diagonale) mentre la matrice Z non è diagonalizzabile, poiché tutti gli autovettori sono linearmente dipendenti da (1,0).
Nel caso n>2 decidere se una matrice è diagonalizzabile, e
diagonalizzarla esplicitamente, può essere tutt'altro che
semplice. Per il teorema fondamentale dell'algebra ogni
matrice ha n autovalori, reali o complessi, contati
con la loro
molteplicità algebrica .
Però se 
non esiste alcun algoritmo
esplicito per risolvere l'equazione caratteristica. Le matrici
simmetriche sono sempre diagonalizzabili (vedi
Sezione B.1).
Consideriamo il caso di dimensione n=2 ed una matrice A con
autovalori reali distinti: esistono due autovettori 
tali che:
e quindi nella base 
la matrice si trasforma per coniugio
con 
:
Il comportamento qualitativo delle orbite si può quindi studiare nel caso del sistema in forma canonica, a cui ci si può ricondurre a meno di trasformazioni lineari:
Il flusso integrale è dato, in funzione delle due condizioni
iniziali 
e 
, dalle due funzioni esponenziali, visto che le
due equazioni differenziali sono disaccoppiate:
La traiettoria , cioè la curva descritta in 
dalle soluzioni
(senza la legge oraria , cioè senza la parametrizzazione in
funzione di t), si può ricavare elevando la soluzione per x(t)
alla potenza b, e quella per y(t) alla potenza a, e facendo il
quoziente (per 
):
Il comportamento qualitativo dipende solo dal segno di a e b:
Figure 2.1: Due esempi di punti di equilibrio del tipo nodo; quello a sinistra
aveva un'equazione in forma canonica.
, e hanno come limite per
l'origine. Le traiettorie per
sono:
e quindi:
tendono
all'origine con tangente che tende all'orizzontale, salvo la
curva eccezionale x=0. Il punto di equilibrio
nell'origine si dice del tipo nodo .
tendono
all'origine con tangente che tende alla verticale, salvo la
curva eccezionale y=0; anche questo si dice di tipo nodo.
Figure 2.2: Due esempi di punti di equilibrio del tipo sella; quello a sinistra
aveva un'equazione in forma canonica.
vanno
all'infinito per 
. Ci sono però due
curve eccezionali : x=0, sulla
quale per le orbite tendono all'infinito per
, ed y=0, sulla quale per
le orbite tendono all'origine per (e
viceversa per ). Le traiettorie (per
) sono:
e quindi per le traiettorie sono
asintotiche all'asse x per ,
asintotiche all'asse y per . Il
punto di equilibrio nell'origine si dice del tipo
sella .
, salvo la
linea di punti di equilibrio per y=0. si scambia con quello per .
Esercizio Determinare le traiettorie del sistema dinamico
e
descriverne l'equazione (implicita) nel piano delle fasi 
.
(Soluzione)