Sommario Un punto di equilibrio il cui linearizzato ha esponenti di Lyapounov sia positivi che negativi è instabile; se non ci sono autovalori con parte reale nulla può essere descritto come il prodotto cartesiano di un pozzo per una sorgente. Questa descrizione è assicurata da una serie di teoremi, le cui dimostrazioni non sono semplici e sono qui svolte solo in parte.
Consideriamo un sistema dinamico continuo in 
, e facciamo
l'ipotesi che abbia un punto di equilibrio nell'origine; sviluppando
il campo vettoriale nell'origine si ottiene:
dove f(x,y),g(x,y) sono infinitesimi per 
di ordine
superiore al primo (rispetto a 
). Allora il sistema
dinamico linearizzato nell'origine è:
Abbiamo già visto le proprietà qualitative del sistema
dinamico nonlineare nel caso di un pozzo o di una
sorgente , che si verificano per 
; infatti in tal
caso, se 
gli esponenti di Lyapounov sono tutti
negativi, mentre se 
sono tutti positivi.
Definizione:
Questo si verifica per 
: gli autovalori di
A sono reali e con prodotto negativo.
Un'altra affermazione equivalente è che il sistema linearizzato ha un punto di equilibrio di tipo sella .
Se gli autovalori sono distinti, supponiamo che siano
con 
; quindi esistono due autovettori
linearmente indipendenti, e usando questi come nuova base si
può portare il sistema dinamico nella forma più semplice
il cui linearizzato è
Il sistema linearizzato ha soluzioni (x(t),y(t)) che soddisfano alle equazioni
ed in particolare le soluzioni contenute in y=0 ed x=0, che sono
`diverse' dalle altre. Per dare una definizione rigorosa di questa
diversità occorre considerare il comportamento delle soluzioni
per 
e per 
.
Una curva eccezionale è una curva la cui immagine C contiene
delle soluzioni del sistema dinamico che hanno o limite diverso, o
anche lo stesso limite ma vi arrivano con tangente diversa, rispetto
ad altre soluzioni `arbitrariamente vicine' (cioè con condizioni
iniziali in un sistema fondamentale di intorni di C). Questa
definizione si può intendere sia per che per
.
Figure 3.8: Un punto di equilibrio che presenta delle curve eccezionali,
che tendono al punto stesso per 
a differenza del le
altre soluzioni vicine.
Teorema di esistenza delle curve eccezionali :
Una sella nonlineare ha sempre delle soluzioni che tendono al
punto di equilibrio sia per che per
; le immagini di queste soluzioni formano due
insiemi 
, localmente chiusi nell'intorno del punto di
equilibrio, ed aventi per frontiera delle curve eccezionali.
Dimostrazione:
con ,
passiamo alle coordinate polari
ed in tali coordinate il sistema dinamico dotato di una sella nonlineare diventa:
dove i simboli o(r) indicano degli infinitesimi, per 
, di
ordine superiore al primo rispetto ad r.
Il problema è che r(t)
non tende a zero, o almeno non su tutte le soluzioni, quindi
gli o(r) non sono necessariamente piccoli per .
Figure 3.9: Il settore Q in cui le soluzioni entrano dai due
lati rettilinei ed escono dal lato curvilineo.
Per dimostrare l'esistenza di 
prendiamo un settore Q
definito, in coordinate polari, da
dove 
sono scelti positivi ma abbastanza piccoli
da assicurare che nel settore Q:
e
ha il segno della parte principale, cioè
quello di 
che è
>0.
Allora in tutti i punti di Q vale: 
e 
ha il segno opposto a quello di 
. Consideriamo il bordo di Q,
che è costituito dai due segmenti OA ed
OB e dall'arco di circonferenza AB, dove O è
l'origine, A ha coordinate polari 
e B ha
coordinate polari 
. Sul segmento OA
vale 
, e sul segmento OB vale 
, cioè le soluzioni entrano in Q (non
considerando il punto O che è di equilibrio). Invece
sull'arco AB vale , quindi le soluzioni escono da
Q.
Consideriamo una soluzione 
che entra in Q
da uno dei due segmenti OA, OB (escluso O). Lungo tale
soluzione r(t) è crescente, e non può avere un limite
finito e 
(altrimenti sui valori limite si avrebbe
, e questo non accade in Q). Perciò tale
soluzione esce da Q lungo AB. Chiamiamo 
la parte di
AB da cui escono le soluzioni che entrano da OA, e 
quella parte di AB da cui escono le soluzioni entrate in
OB. I due insiemi sono separati (le soluzioni non possono
incrociarsi, per non violare l'unicità delle soluzioni per
una condizione iniziale data) ed aperti. Poiché l'arco AB
è un insieme continuo (è parametrizzato dal segmento
), deve esistere almeno un
elemento separatore D che non appartiene né a né a
. Prendiamo la soluzione per D: per
non può uscire da Q, ma per lo stesso
ragionamento fatto sopra r(t) non può tendere ad un limite
>0, quindi la soluzione per D ha come punto limite per
la sella nonlineare O.
Se ne deduce che non è vuoto; esso contiene tutte le soluzioni
che appartengono al tratto di AB compreso tra e , che
può essere o un singolo punto D o un arco DE compresi i due
estremi D ed E. Nel primo caso c'è una sola curva eccezionale
per D, che è l'unica in Q ad avere O come punto limite per
; nel secondo caso, arbitrariamente vicino alle due curve
per D ed E esistono soluzioni che non tendono a O.
La dimostrazione relativa a 
è sostanzialmente la
stessa, salvo che occorre considerare un settore
e questa volta le soluzioni entreranno dall'arco di circonferenza ed usciranno dai segmenti.
In realtà le proprietà degli autovalori reali
che servono nella dimostrazione relativa a
sono:
e 
; non serve che 
. Ne segue
che l'esistenza di curve eccezionali, e dell'insieme ,
vale anche nel caso di un punto di equilibrio degenere
con un esponente di Lyapounov nullo ed uno positivo.
Simmetricamente, l'esistenza di curve eccezionali e
dell'insieme vale nel caso di un punto di equilibrio
degenere con un esponente di Lyapounov nullo ed uno negativo.
Nel caso di due autovalori positivi ma distinti
si ha una sorgente , ed il sistema
linearizzato è del tipo nodo . Usando ancora la
stessa definizione, visto che e che
in un settore opportunamente scelto, si mostra
l'esistenza di curve eccezionali che sono diverse dalle altre
non per il limite per , che in questo caso è la
sorgente per tutte le soluzioni vicine, ma per la tangente con
cui si avvicinano al limite; si veda la Figura 2.1.
Definizione:
, si dice separatrice
di un sistema dinamico continuo, se la sua immagine C ha le
seguenti due proprietà:
lo stesso punto limite S; oppure, tutte
hanno come limite per lo stesso punto limite U.
esiste un intorno V di P, tale
che i punti in V-C non hanno lo stesso punto limite (per
o per , rispettivamente, secondo il caso
nella condizione (a)).
In realtà si potrebbe dimostrare che la condizione (c) è conseguenza di (a) e (b).
Esempio:
con , le curve y=0 ed x=0 sono separatrici, poiché
coincidono con l'insieme delle condizioni iniziali con l'origine come
limite, rispettivamente per e per .
Esempio:
, la retta
x=0 è una separatrice, perché forma il
bacino di attrazione della sella nonlineare (0,0).
Anche il segmento di retta
y=0 con -1< x< 1 è una separatrice, essendo il
bacino di repulsione della sella, cioè l'insieme dei punti
che hanno l'origine come punto limite per .
Mentre nel caso lineare si può accertare l'esistenza di separatrici approfittando dell'espressione esplicita di tutte le soluzioni, nel caso nonlineare l'esistenza di curve separatrici non è in generale ovvia. Perciò è importante poter decidere dell'esistenza di separatrici sulla base delle sole proprietà del linearizzato, per esempio sulla base dei soli esponenti di Lyapounov.
Teorema di esistenza e unicità delle separatrici :
Una sella nonlineare ha sempre esattamente due separatrici, che sono
l'insieme delle condizioni iniziali che hanno quel punto di equilibrio
come limite, rispettivamente, per e per
Usando la Figura 3.9, questo teorema afferma che i due punti D ed E coincidono, e la soluzione per D=E fa parte della separatrice, che contiene anche il punto di equilibrio O e la curva eccezionale dall'altra parte.
Dimostrazione:
Supponiamo che la sella nonlineare sia nell'origine, e che sia della forma
con ed f(x,y),g(x,y) infinitesimi di ordine
superiore al primo per . Allora il flusso integrale
si potrà esprimere, in un intorno dell'origine, come:
dove 
è la differenza tra il flusso integrale ed il
flusso integrale del linearizzato. Per il teorema di
differenziabilità del flusso
le parti nonlineari sono piccole, cioè di ordine
superiore al primo per 
.
Questo deriva dal fatto che
l'equazione alle variazioni
per l'orbita con condizioni iniziali nell'origine
coincide con il sistema linearizzato nell'origine, il cui
flusso integrale è 
.
Consideriamo ora una curva che sia il grafico di una funzione
. Come si trasforma tale curva per effetto del passaggio
del tempo t ? Se la trasformata è 
, dove
, allora componendo con 
:
Si noti la controvarianza : la funzione h viene cioè trasformata applicando la trasformazione inversa al suo argomento ed al suo valore.
Ora fissiamo t>0, usiamo la notazione
e sostituiamo ; l'equazione funzionale che
lega h ed 
è quindi
Allora l'ipotesi che la funzione h abbia il grafico invariante può essere messa nella forma del punto unito :
A questo punto, per dimostrare l'esistenza e unicità del grafico
basta provare che l'operatore 
è una
contrazione di un opportuno spazio funzionale, che è
uno spazio metrico completo .
Questo si mostra in tre passi:
sull'intervallo
, con 
ma abbastanza piccolo, viene
mandato in sé dall'operatore , per ogni 
;
inoltre le funzioni h con h(0)=0 vengono mandate in sé.
è una
contrazione sul chiuso di cui ai passi precedenti, e
quindi esiste una ed una sola funzione h(x) che risolve
l'equazione del punto unito, con h(0)=0 e lipschitziana di
costante . Poiché è piccolo a piacere (pur di
scegliere opportunamente 
), segue che h'(0)=0, cioè
il suo grafico è tangente nell'origine all'autospazio
dell'autovalore 
.
Per concludere la dimostrazione del teorema occorre mostrare che il
grafico y=h(x) è invariante per 
per ogni s,
non solo per il t usato nella dimostrazione. Questo deriva dal
fatto che tali curve invarianti esistono, per il teorema di
esistenza delle curve eccezionali , e perciò devono
coincidere con y=h(x).
La dimostrazione relativa all'altra separatrice, che ha la forma x=k(y), è analoga.
Per una dimostrazione completa si veda [Hartmann 64].
Esempio:
con autovalori della parte lineare 
. Si veda la
Figura 3.10 per avere un'idea della rapidità di
convergenza dell'operatore .
Figure 3.10: In 20 iterazioni la curva y=h(x)=0 è stata
trasformata in modo da avvicinarsi molto alla curva invariante, cioè
alla separatrice.
Un teorema analogo afferma l'unicità delle curve eccezionali dei nodi; la dimostrazione è molto simile, ma il Passo 3 è sostituito dalla maggiorazione con una serie di potenze convergente in un intorno di x=0.
Le due soluzioni appartenenti alla separatrice, che hanno il punto di
sella come limite per , si allontanano dall'equilibrio
al crescere di t ; se consideriamo tali soluzioni sull'intervallo
massimo di definizione (nel senso del teorema di
continuazione delle soluzioni ), ciascuna di esse ha per
immagine una curva in . Tuttavia non è detto che l'immagine di
questa curva sia chiusa, cioè che essa sia una
sottovarietà di . È proprio il
riavvolgersi delle separatrici e il loro intersecarsi in modo
complicato uno dei fenomeni alla base della non integrabilità, nel
senso discusso nel Capitolo 9. Anche nei casi più
semplici, le separatrici si ``avvolgono'' tra loro, e con questo
determinano le proprietà qualitative di un sistema dinamico nel
piano, come nei due esempi seguenti.
Esempio:
(con m intero), e ciascuna contiene un'orbita che tende ad uno dei
punti di equilibrio stabile più vicini, ed una che tende
all'infinito. Le separatrici fungono da frontiera dei
bacini di attrazione di ciascun
punto di equilibrio asintoticamente stabile. Nella
Figura 3.11 sono indicati i bacini dei due pozzi
e 
.
Figure 3.11: Le separatrici del pendolo nonlineare con
dissipazione; il bacino indicato con la lettera A è quello del punto
stabile R, quello indicato con B appartiene ad S. Le curve sono state
tracciate usando un integratore numerico, con condizioni
iniziali vicine alle selle, in avanti o in indietro in
modo opportuno.
Figure 3.12: Le separatrici del sistema dissipativo di
dimensione 1 con potenziale 
. Il bacino indicato
con la lettera A è quello del punto stabile R, quello indicato con B
appartiene ad S. Le due curve sono state tracciate usando
un integratore numerico, scegliendo condizioni iniziali vicine alla
sella, ed integrando in avanti o in indietro.
Esempio:
e con dissipazione 
ha equazioni
L'origine è un punto di sella nonlineare; tracciate le separatrici,
è facile rendersi conto che i bacini di attrazione dei due punti
asintoticamente stabili (corrispondenti ai minimi del potenziale in
ed 
) si avvolgono l'uno attorno
all'altro a spirale, come illustrato in Figura 3.12.
Al contrario, in un intorno abbastanza piccolo del punto di equilibrio, il comportamento qualitativo della sella nonlineare può essere descritto da quello della sella lineare; in questo caso la natura `qualitativa' del risultato si manifesta con una perdita di differenziabilità nella corrispondenza tra i due sistemi, come nel teorema seguente:
Teorema di linearizzazione delle selle :
Ogni sella nonlineare ha un intorno U tale che esiste un
omeomorfismo k tra U ed un intorno V di una sella
lineare, tale che le soluzioni dei due sistemi dinamici si
corrispondono tra loro: se 
è il flusso integrale del
sistema nonlineare, e 
quello del sistema lineare, allora
Dimostrazione omessa.