3.2 POZZI E SORGENTI

 

Sommario La stabilità o instabilità di un punto di equilibrio può essere determinata esaminando la sola parte lineare del campo vettoriale, purché questa non abbia autovalori con parte reale zero. Infatti la parte lineare dell'equazione differenziale determina il carattere esponenziale del flusso integrale, e questo determina il comportamento qualitativo se l'esponente è diverso da zero.

Esponenti di Lyapounov

Definizione:

Dato il sistema dinamico con punto di equilibrio :



dove A è la matrice jacobiana della funzione F calcolata in (e quindi G è infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto ad ), il sistema dinamico lineare



si chiama il sistema linearizzato   di in .

Le parti reali degli autovalori di A si chiamano esponenti di Lyapounov  .

Se tutti gli esponenti di Lyapounov sono negativi il punto di equilibrio si dice un pozzo  ; se tutti gli esponenti di Lyapounov sono positivi, il punto di equilibrio si dice una sorgente  .

Caso lineare

Nel caso di un sistema dinamico continuo lineare , la stabilità delle soluzioni può essere dedotto dalla loro forma esplicita in termini di funzioni elementari. Se ne possono ricavare informazioni molto precise sull'andamento delle soluzioni per .

Teorema del pozzo lineare :  Data la matrice A a coefficienti reali di tipo , le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)

l'origine è un pozzo per il sistema dinamico lineare (cioè tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa).

(b)

Esistono costanti k e b positive tali che

per ogni condizione iniziale e per ogni t positivo.

Dimostrazione:

Segue dal teorema delle soluzioni del sistema dinamico lineare . Le orbite sono tutte ottenibili come combinazioni lineari di funzioni del tipo:



dove è un esponente di Lyapounov (cioè la parte reale di un autovalore di A), e Q(t) è una funzione che per cresce più lentamente di ogni esponenziale.

(a) (b) Se b è una costante positiva tale che ogni esponente di Lyapounov , allora ogni componente della soluzione tende a zero più rapidamente di , da cui segue (b).

(b) (a) Per assurdo: se esiste un esponente di Lyapounov , allora la funzione non tende a zero per , e quindi c'è qualche componente di qualche soluzione che non tende a zero, in contraddizione con (b).

 C.D.D.

Segue dal teorema, e dagli argomenti usati nella sua dimostrazione, che l'origine è asintoticamente stabile  se e solo se è un pozzo per il sistema lineare. Invece, se esiste anche un solo esponente di Lyapounov positivo l'origine è instabile . Il caso in cui gli esponenti di Lyapounov siano solamente (ma non tutti <0), non può essere deciso dal punto di vista della stabilità sulla base della sola conoscenza degli esponenti di Lyapounov: si possono trovare degli esempi sia stabili  che instabili (si veda l'esempio di risonanza nella Sezione 2.5).

Esempio:

Consideriamo un pendolo lineare con dissipazione   la cui posizione è definita dall'angolo tra il pendolo  e la verticale; se il pendolo ha lunghezza e la gravità esercita un'accelerazione costante g sulla massa sospesa, allora l'accelerazione di richiamo è ; linearizzando si rimpiazza con . Supponiamo che ci sia anche un termine di dissipazione proporzionale alla velocità con costante di proporzionalità : allora l'equazione del pendolo è un oscillatore lineare:



Introducendo una variabile velocità angolare  si ottiene il sistema dinamico lineare:



con matrice e polinomio caratteristico:



L'origine è un punto di equilibrio del tipo fuoco  se



o nodo  se (nodo improprio  se ), ma in ogni caso le parti reali degli autovalori sono negative e quindi l'origine è un pozzo lineare.

Un teorema del tutto analogo riguarda il caso in cui tutti gli esponenti di Lyapounov sono positivi; la dimostrazione è in sostanza la stessa del caso precedente.

Teorema della sorgente lineare :  Data la matrice A a coefficienti reali di tipo , le due seguenti proprietà sono equivalenti:

(a)

l'origine è una sorgente per il sistema dinamico lineare (cioè tutti gli autovalori di A hanno parte reale positiva).

(b)

Esistono costanti k e b positive tali che

per ogni condizione iniziale e per ogni t positivo.

Se si studia il comportamento per t negativo, ed i limiti per si scambia il comportamento di un pozzo con quella di una sorgente. Infatti se si scambia t con -t, il sistema dinamico diventa e gli autovalori di -A sono gli opposti degli autovalori di A.

Per estendere la teoria delle sorgenti e dei pozzi al caso nonlineare, abbiamo bisogno di una diseguaglianza che deriva dalla teoria della forma canonica di Jordan :

Teorema della norma adattata :  Data una matrice A a coefficienti reali di tipo , esiste una base di tale che, se

sono due vettori espressi mediante le coordinate in questa base, ed il prodotto scalare definito da queste coordinate è:

vale la diseguaglianza

per ogni coppia di numeri reali tale che

Si può usare il prodotto scalare associato alla base V per definire una norma  `adattata' alla matrice A ed ai suoi autospazi, e quindi riscrivere la diseguaglianza come:

Dimostrazione:

Per il teorema di Jordan  esiste una base W tale che l'applicazione lineare associata ad A viene espressa da una matrice D in forma canonica di Jordan reale .

Nel caso in cui A è una matrice semisemplice , la matrice D ha sulla diagonale gli autovalori di A (ciascuno ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica , e con le coppie di autovalori coniugati rappresentati da un blocco (ripetuto per gli autovalori multipli).

La base consiste negli autovettori con autovettori reali , e nelle coppie associate alle coppie di autovalori ( sono la parte reale e la parte complessa di un autovettore, come nel teorema del sistema semisemplice ). Allora



e perciò



dove la prima somma è estesa agli autovalori reali e la seconda a quelli complessi (contati con la loro molteplicità). Quindi per tutti gli n autovalori reali o complessi



da cui seguono immediatamente le diseguaglianze.

Se la matrice A non è semisemplice, la matrice D è diagonale a blocchi  con blocchi di Jordan  della forma , dove ha un solo autovalore reale oppure una sola coppia di autovalori complessi , ed è in forma canonica dei nilpotenti . Supponiamo che l'autovalore di un certo blocco sia reale, e siano i vettori della base relativi ad un tale blocco. Allora il fatto che immediatamente sotto la diagonale principale ci siano dei coefficienti 1 si traduce in:



Per ottenere una nuova base in cui valgano le diseguaglianze della tesi occorre riscalare ciascuna base come segue:



con positivo abbastanza piccolo; allora



Allora per il prodotto tende alla stessa espressione del caso semisemplice, cioè:



quindi per abbastanza piccolo le diseguaglianze della tesi sono verificate.

 C.D.D.

Caso nonlineare

Nel caso nonlineare non si sanno, in generale, esprimere le soluzioni nell'intorno di un punto di equilibrio in forma analitica; in alcuni casi però si possono dedurre le proprietà di stabilità dallo studio del sistema linearizzato.

Teorema del pozzo nonlineare :  Sia un pozzo  per il sistema dinamico , definito e su , e sia A la matrice del sistema linearizzato  in . Se c è un numero reale positivo tale che ogni autovalore di A ha parte reale , esiste un intorno U di , ( ) tale che:

(a)

il flusso integrale è definito per ogni X in U e per ogni t>0;

(b)

esiste una costante B>0 tale che, per ogni X in U e per ogni :

La tesi implica che tende ad per per ogni condizione iniziale X in U, in particolare è asintoticamente stabile .

Dimostrazione:

Cambiamo coordinate per traslazione in modo che . Sia b un numero reale positivo tale che ; per il teorema della norma adattata  esiste una base V, un prodotto scalare ed una norma associata a questa base, tali che



Poiché la matrice jacobiana di F in è A:



La formula precedente è la definizione di differenziabilità se la norma è la norma euclidea ; ma per il teorema di equivalenza delle norme  i limiti sono gli stessi con ogni norma.

Per la diseguaglianza di Cauchy  segue



e quindi, definitivamente per , cioè in un intorno U abbastanza piccolo:



Consideriamo allora una soluzione X(t), con condizione iniziale X(0) in U. Poiché U è aperto, ci sarà un tempo tale che almeno per la soluzione X(t) è definita e resta in U. Per tale intervallo di tempo esaminiamo il comportamento della norma:



da cui segue che la norma come funzione del tempo: soddisfa a



Cambiando norma, dalla norma associata alla base V a quella euclidea (associata alla base canonica di ), per il teorema dell'equivalenza delle norme , la diseguaglianza appena dimostrata cambia solo per l'aggiunta di una costante B come nella tesi (b).

Per dimostrare (a) si ricorre al teorema di continuazione delle soluzioni : scegliendo come U una palla di centro e raggio , la tesi (b) implica che la soluzione resta in U fino al tempo , ma il ragionamento può essere ripetuto continuando la soluzione da ; poiché la chiusura di U è un compatto contenuto in W, la soluzione può essere continuata per un tempo arbitrariamente grande.

 C.D.D.

Ne segue che gli esponenti di Lyapounov  determinano l'andamento delle soluzioni per non solo nel caso lineare. Per un pozzo nonlineare, le soluzioni non sono direttamente esprimibili mediante funzioni esponenziali ed altre funzioni analitiche elementari, ma hanno l'andamento asintotico delle esponenziali, nel senso del prossimo problema.

Problema Dimostrare che se è un pozzo (sia lineare che nonlineare), ed X(t) una soluzione con condizione iniziale abbastanza vicina ad , allora

esiste finito, ed è pari ad uno degli esponenti di Lyapounov.

Esempio:

Consideriamo un pendolo nonlineare con dissipazione  , che differisce dal caso lineare perché l'accelerazione di richiamo non è linearizzata:



Introducendo una variabile velocità angolare  si ottiene il sistema dinamico nonlineare:



I punti di equilibrio sono dati da per ogni k intero. In questi punti la matrice jacobiana è:



con equazione caratteristica :



Quindi nei punti di equilibrio con k pari, cioè i punti di equilibrio con il pendolo verso il basso, il sistema linearizzato  coincide con il pendolo lineare

con dissipazione, e quindi l'equilibrio è asintoticamente stabile. Invece, in un punto di equilibrio con k dispari il sistema linearizzato ha due autovalori reali di segno opposto, cioè è di tipo sella ; come vedremo nella Sezione 3.6, ne segue che questo punto di equilibrio è instabile .

Per poter descrivere il comportamento globale delle orbite di questo sistema dinamico, per esempio mediante un disegno, occorrono informazioni supplementari sul comportamento delle soluzioni con condizioni iniziali lontane dai punti di equilibrio. Questo sarà possibile utilizzando per esempio il metodo della funzione di Lyapounov .

Esercizio Consideriamo l'equazione di Van der Pol  :

Provare che l'origine è asintoticamente stabile.

Esercizio Individuare eventuali pozzi e sorgenti del sistema

(Soluzione)

Un teorema del tutto analogo riguarda il caso della sorgente, cioè quello in cui gli esponenti di Lyapounov sono tutti positivi:

Teorema della sorgente nonlineare :  Sia una sorgente  per il sistema dinamico , definito e su , e sia A la matrice del sistema linearizzato  in . Se c è un numero reale positivo tale che ogni autovalore di A ha parte reale , esiste un intorno U di , ( ) tale che:

(a)

il flusso integrale è definito per ogni X in U e per ogni .

(b)

esiste una costante B>0 tale che, per ogni X in U e per ogni t<0:

Dimostrazione:

Basta scambiare t con -t, quindi F(X) con -F(X), quindi A con -A, per ricondursi al caso del pozzo nonlineare .

 C.D.D.