Sommario I sistemi newtoniani sono quelli in cui è assegnata un'accelerazione; si riducono a sistemi dinamici introducendo come variabili sia la posizione che la velocità. La funzione energia è conservata oppure dissipata, e le sue proprietà di monotonia sono utili per la costruzione di funzioni di Lyapounov e di insiemi invarianti.
Il caso in cui è più semplice costruire una
funzione di Lyapounov è quello del
sistema newtoniano ad un grado di libertà ,
che è un'equazione differenziale di ordine 2 in 
:
con f(x) una funzione di classe 
su un intervallo (a,b)
(eventualmente 
, 
). Ponendo 
si ottiene un sistema dinamico in 
:
L'ipotesi f di classe si può rilassare, come si
vedrà nella Sezione 5.2.
Questi sistemi newtoniani ad un grado di libertà hanno sempre un
integrale primo . Infatti se E(x,y) è una funzione :
e quindi si ottiene 
ponendo, per esempio:
da cui:
I due addendi di E possono essere interpretati come
energia cinetica
(si intende per unità di massa ) 
ed
energia potenziale 
, e quindi E=T+V
è l'integrale dell'energia .
Si usa la notazione 
per indicare la
derivata seconda della coordinata x, ed anche la derivata totale
seconda di una funzione di x,y:
L'energia E è costante su ogni soluzione, e può essere impiegata per costruire funzioni di Lyapounov:
Teorema di stabilità del minimo :
Nel sistema newtoniano 
ad un grado di libertà, se
è un punto in cui 
ha un minimo locale,
è un punto di equilibrio stabile
(ma non asintoticamente stabile ).
Dimostrazione:
; questo si ottiene con
la funzione integrale:
allora E è una funzione di Lyapounov per il punto di equilibrio
. Infatti , 
ed 
in un intorno. Perciò il punto di equilibrio è stabile.
D'altro canto non può accadere che sia un punto limite
per 
; altrimenti si avrebbe su quella
soluzione 
, quindi (essendo E costante sulle soluzioni)
E=0, mentre in tutti i punti di un intorno di , in cui
, si ha E>0.
Si noti che se il minimo è non degenere, cioè
, allora il sistema linearizzato
in è del tipo centro :
con matrice jacobiana ed equazione caratteristica:
con radici immaginarie pure 
; le parti immaginarie sono
frequenze 
. Dunque gli esponenti di Lyapounov
sono zero, eppure si riesce a dimostrare che il punto di equilibrio
è stabile. Inoltre il teorema di stabilità di Lyapounov si applica
anche al caso di un minimo degenere, con 
, come in
Figura 3.2.
Figure 3.1: Curve di livello nel caso di un massimo non degenere e di un
minimo non degenere dell'energia potenziale.
Vale il teorema inverso, dimostrato da Cetaev: se 
, ma
non è un punto di minimo locale dell'energia potenziale,
allora è un punto di equilibrio instabile . La
dimostrazione è tutt'altro che banale.
I sistemi newtoniani ad un grado di libertà sono integrabili in un senso che sarà precisato nella Sezione 5.2. Il comportamento qualitativo delle soluzioni, non solo nell'intorno dei punti di equilibrio stabili ma globalmente, può essere descritto tracciando le curve di livello della funzione energia nel piano (x,y). Per questo si può utilizzare il metodo grafico seguente: si disegni il grafico della funzione z=V(x), utilizzando la conoscenza del segno della sua derivata -f(x) (attenzione al segno -).
Ad ogni minimo di V(x), cioè per esempio ad ogni punto
in cui f(x) passa da positiva a negativa, corrisponde un punto
di minimo di E(x,y), quindi un punto di equilibrio stabile del
sistema dinamico. Approssimando E(x,y) con il suo sviluppo di
Taylor, con centro , fino al secondo ordine:
Le curve di livello di E(x,y) corrispondenti a valori immediatamente superiori al minimo si chiudono attorno al minimo, come in Figura 3.1 a destra, approssimativamente come ellissi:
Analogamente, ad ogni massimo di V(x) corrisponde un punto stazionario di E(x,y) che non è di estremo ma di sella; le curve di livello si comportano, in un intorno della sella, come in Figura 3.1 a sinistra, cioè approssimativamente come le iperboli
Il termine `sella' si usa sia per i punti stazionari delle funzioni di due variabili che hanno matrice hessiana con autovalori discordi, sia per i punti di equilibrio dei sistemi dinamici che hanno il linearizzato con matrice ad autovalori discordi. Per i sistemi newtoniani le due condizioni coincidono, quindi l'uso della stessa parola non genera ambiguità.
Le curve di livello E(x,y)=c incrociano la retta y=0 nel piano
(x,y) nei punti 
in cui 
, con tangente verticale se
. Se invece 
la curva di livello non è
regolare in 
; per esempio se 
è un massimo, si ha
un punto di sella a cui arrivano quattro rami di curva di livello, con
due tangenti distinte.
Figure 3.2: Curve di livello nel caso di un massimo degenere e di un
flesso a tangente orizzontale dell'energia potenziale.
Nel caso `eccezionale' che il potenziale abbia un punto stazionario
degenere, con 
ma 
,
l'espansione di Taylor della funzione E(x,y) in comincia
con:
con m>2, e la curva di livello E=c può essere approssimata, in un
intorno di , con
che è una cuspide per m dispari ed una coppia di curve con
tangenti orizzontali coincidenti per m pari ed 
,
come in Figura 3.2.
Figure 3.3: Curve di livello dell'energia in un sistema newtoniano
tracciate a partire dal grafico dell'energia potenziale.
Si possono costruire graficamente in modo globale le curve di livello E(x,y)=c tracciando la retta z=c nel piano (x,z) e facendo corrispondere ad ogni punto del grafico z=V(x) che sta 'sotto' la retta (z<c) una coppia di punti nel piano (x,y) con la regola:
In questo modo si ottengono due archi di curva, simmetrici rispetto alla retta y=0il cui andamento come grafico y=y(x) rispecchia gli alti e bassi del grafico z=V(x) (al contrario, per y>0), come in Figura 3.3.
Figure 3.4: Pendolo nonlineare conservativo, per
g/l=1;
la figura è periodica
nella variabile x.
Esempio:
con 
, il sistema dinamico si ottiene ponendo 
(velocità angolare ):
e l'integrale dell'energia è:
I punti stazionari dell'energia potenziale
sono 
per ogni m
intero. Per m pari 
ha un minimo (non degenere) e
quindi i punti 
, con k intero, sono di
equilibrio stabile. Invece punti 
sono di sella.
Per studiare globalmente le curve di livello, si traccino per prime
le curve di livello con 
, che congiungono
i punti di sella (sono separatrici ), come
in Figura 3.4. Le curve di livello con
sono infinite curve chiuse che circondano
ciascun equilibrio stabile; per 
si hanno i punti di
minimo, cioè gli equilibri stabili (con il pendolo rivolto verso
il basso). Per 
si ottengono due curve, una contenuta
tutta nel semipiano y>0 ed una tutta nel semipiano y<0.
Problema
Un'asta di lunghezza L ruota su un piano orizzontale intorno ad un
proprio estremo fisso A, con velocità angolare 
. In A è fissata una carica positiva Q, mentre una carica opposta -Q è
libera di scorrere senza dissipazione lungo l'asta, partendo inizialmente
da una distanza di L/2 da A. Per quali valori di la
carica -Q abbandona l'asta ?
Suggerimento: Se x è la distanza da A sull'asta di -Q, bilanciando l'attrazione coulombiana con la forza centrifuga ...
Esercizio
Studiare l'equazione
nei casi in cui
Un altro tipo di sistemi dinamici per i quali la costruzione di una
funzione di Lyapounov è automatica è quello in cui ad un sistema
newtoniano si aggiunge un termine di dissipazione, proporzionale alla
derivata prima. Un sistema dissipativo ad un grado di libertà
è un'equazione differenziale di ordine 2 in :
con 
un coefficiente di dissipazione ed f(x) una funzione di
classe su di un intervallo (a,b) (eventualmente ,
). Ponendo si ottiene un sistema dinamico in
:
Si utilizza come funzione di Lyapounov la stessa funzione energia del caso senza dissipazione:
che però non è più un integrale primo:
ma è una funzione non crescente sulle orbite.
I punti di equilibrio
sono i punti dell'asse x corrispondenti ai punti stazionari di
V(x). Se è tale che , il sistema linearizzato in
è
con matrice jacobiana ed equazione caratteristica
per 
gli autovalori sono reali discordi, per cui si ha
ancora un punto di equilibrio di tipo sella nonlineare .
Invece per 
(cioè quando è un punto di minimo non
degenere per V(x)), gli autovalori sono complessi coniugati
, con frequenza
dell'oscillazione smorzata
: dunque gli esponenti di
Lyapounov sono negativi, ed il punto di equilibrio è un pozzo, in
particolare asintoticamente stabile.
Poiché 
è una funzione di Lyapounov, il teorema
di stabilità di Lyapounov assicura che i punti di equilibrio
corrispondenti ai minimi di V(x) sono stabili. Questo è vero anche
per i minimi degeneri.
Poiché è una funzione di Lyapounov ma non
una funzione di Lyapounov stretta , il teorema di
stabilità di Lyapounov non può essere usato per assicurare la
stabilità asintotica. Quindi per esempio nel caso di un minimo
degenere non si può giungere ad una conclusione sulla stabilità
asintotica, a meno di impiegare il teorema più forte
della funzione di Lyapounov decrescente .
Nel caso dei sistemi dissipativi, poiché la funzione energia è
definita globalmente (cioè su 
), è possibile
ottenere informazioni sui bacini di attrazione dei vari punti
di equilibrio. A questo scopo occorre introdurre la nozione di insieme
invariante per il flusso:
Definizione:
in P la soluzione con condizione
iniziale esiste per ogni t>0 ed è contenuta in P:
Un insieme P è invariante per il flusso integrale se le
soluzioni con condizione iniziale in P sono contenute in P per
ogni t in .
Esempio:
, e tale che 
per 
.
L'insieme 
in cui 
è compatto e non vuoto, se k
è maggiore del minimo assoluto di V(x). Ciascuno dei 
è
allora positivamente invariante.
Infatti la soluzione con condizione iniziale 
in
non può uscire da perché E(x(t),y(t)) è non crescente;
la soluzione non esce da un compatto e quindi, per il teorema di
continuazione delle soluzioni , è definita per ogni
.
Teorema della funzione di Lyapounov decrescente : Sia S un punto di equilibrio per un sistema dinamico continuo definito nell'aperto W, e sia L(X) una funzione di Lyapounov in W per S. Se P è un intorno di S chiuso e positivamente invariante, tale che su nessun'orbita contenuta in P la funzione L è costante (salvo che su S), allora S è asintoticamente stabile e P è contenuto nel bacino di S.
Questo teorema ha il vantaggio, rispetto a quello di stabilità di Lyapounov , di provare la stabilità asintotica senza richiedere che la L(X) sia una funzione di Lyapounov stretta .
Dimostrazione:
Il teorema qui sopra è proprio quello che serve nel caso di un
sistema dissipativo ad un grado di libertà . Infatti se l'energia
potenziale
V(x) ha un minimo (locale forte) in 
, anche la funzione energia
ha un minimo in ; ne
segue che la componente connessa di dell'insieme 
, con k
un valore appena superiore al minimo, è positivamente invariante e
contiene un solo punto di equilibrio. La funzione
energia non è una funzione di Lyapounov stretta, infatti 
si annulla per y=0. Quasi tutte le soluzioni
attraversano la retta y=0 trasversalmente , cioè con 
, e quindi la funzione E(x(t),y(t)) ha in questi punti
derivata nulla per un valore isolato di t e non cessa di essere
decrescente in senso stretto. Quindi si può applicare il teorema e
concludere che tutti i punti di minimo di V(x) corrispondono a punti
di equilibrio asintoticamente stabili, anche se sono minimi degeneri.
Esempio:
è non crescente e quindi gli insiemi
Figure 3.5: Pendolo nonlineare con dissipazione
;
la figura è periodica
nella variabile x.
sono positivamente invarianti (in questo caso non sono compatti, se
si considera che 
; però sono compatti se
consideriamo che 
è una variabile angolo
). In particolare per 
l'insieme
consiste di infinite componenti connesse , ciascuna delle
quali è positivamente invariante (una sola componente connessa se
) e contiene soltanto un punto di equilibrio
, con m intero.
Per applicare il teorema della
funzione di Lyapounov decrescente
basta far vedere che un insieme , con ,
non contiene nessuna orbita su cui 
è costante. Infatti 
si annulla solo
per 
, ma quasi tutte le soluzioni attraversano la retta
trasversalmente, con 
, e quindi
la funzione 
ha in questi punti derivata nulla
per un valore isolato di t e non cessa di essere
decrescente in senso stretto. Fanno
eccezione solo i punti di equilibrio di tipo sella
in 
, con m intero. Però i punti
di equilibrio di tipo sella sono tali che 
,
quindi sono fuori da per .
Ne segue che i punti di equilibrio con
m intero sono asintoticamente stabili (questo era già noto,
visto che sono dei pozzi), e il loro bacino contiene
almeno la loro componente connessa di per ogni k con
. Se consideriamo degli insiemi con
(che sono connessi ),
essi sono positivamente
invarianti ma contengono più punti di equilibrio, e quindi si
decompongono nei diversi bacini.
Come si vedrà nella Sezione 3.6, il bacino
dei punti di equilibrio di tipo sella contiene almeno alcune
curve eccezionali ; però il teorema
di esistenza e unicità delle separatrici
assicura che tali curve sono isolate,
perciò `quasi tutte' le condizioni iniziali hanno come
punto limite .