Sommario Ad ogni simmetria della funzione di Lagrange corrisponde un integrale primo, che può essere calcolato esplicitamente in termini di momenti e derivate del gruppo di simmetrie. Questo generalizza il caso delle variabili cicliche. Nei sistemi composti da n corpi puntiformi, che interagiscono solo tramite forze centrali, le isometrie sono simmetrie e conducono agli integrali della quantità di moto e del momento angolare.
Definizione:
è un diffeomorfismo; inoltre la somma del parametro s corrisponde alla composizione dei diffeomorfismi:
Ne segue che 
è l'identità su W, e che
è l'inverso di 
.
Le condizioni di regolarità richieste sono le seguenti:
deve avere continue non solo le derivate rispetto
a t e alle coordinate di Q, ma anche quelle miste
.
L'applicazione tra il gruppo additivo 
ed il gruppo
dei diffeomorfismi è un omomorfismo di gruppi.
Esempio:
è un gruppo
ad un parametro di diffeomorfismi.
In particolare, il flusso integrale 
di un sistema
dinamico lineare 
è un gruppo ad un parametro di
trasformazioni lineari; infatti il determinante
dell'esponenziale di matrice è sempre
diverso da zero per la formula della traccia .
Definizione:
, definita su di uno spazio delle
fasi della forma 
(W aperto di 
), un
gruppo ad un parametro di simmetrie
è un gruppo ad un parametro
di diffeomorfismi di W, tale che la lagrangiana sia invariante: per
ogni se 
, la velocità si trasforma in modo
covariante :
e quindi l'invarianza della lagrangiana vuol dire
Teorema di Noether :
Se la lagrangiana ha un gruppo ad un parametro di
simmetrie , allora ha un integrale primo con la
seguente espressione:
Dimostrazione:
,
usando lo sviluppo di Taylor in s=0:
Poiché questo incremento deve essere zero identicamente rispetto ad s, il termine del primo ordine si annulla:
Ora sfruttando il fatto che ha derivate miste
continue, possiamo scambiare l'ordine delle due derivate
rispetto ad s e rispetto a t:
La definizione dei momenti P (trasformata di Legendre inversa) e le equazioni di Lagrange consentono di sostituire alle derivate parziali della lagrangiana:
e inserendo queste relazioni nell'equazione precedente:
Problema Dato un pendolo doppio piano in moto libero, trovare una simmetria che definisca un integrale primo. Trovare un sistema di coordinate in cui ci sia una variabile ciclica, e quindi integrare il sistema per quadrature.
Suggerimento: Se i due pendoli ruotano simultaneamente dello stesso angolo, l'energia cinetica non cambia.
Consideriamo un sistema di n
corpi puntiformi
con coordinate 
e masse 
; indicheremo con X il vettore di 
formato
giuntando gli 
. L'energia cinetica è
Supponiamo ora che questi corpi interagiscano tra loro due a
due, con una
forza centrale con energie potenziali 
, dove
è la distanza dei due. Inoltre supponiamo
che valga la legge di azione e reazione , per cui
la forza esercitata da su 
è uguale e contraria
a quella esercitata da su ; questo comporta che
.
La legge di azione e reazione così enunciata vale perché i corpi sono supposti in moto libero; la presenza di reazioni vincolari renderebbe la formulazione di questa legge più complicata.
Allora esiste un'energia potenziale `totale''
in cui la somma si estende alle coppie non ordinate, in modo che non ci siano duplicazioni. La lagrangiana di un tale sistema di n corpi è quindi
e le equazioni di Lagrange rispettano il principio di sovrapposizione , per cui la forza risultante che agisce su di un corpo è la somma vettoriale di quelle esercitate da tutti gli altri corpi:
Questo problema, e le equazioni qua sopra, si designano con il nome di
problema degli n corpi . Per applicare il teorema di Noether e
trovare degli integrali primi, basta considerare che l'energia
cinetica dipende solo dalla lunghezza delle velocità, mentre
l'energia potenziale dipende solo dalle distanze. Perciò ogni
trasformazione dello spazio 
che sia un'isometria ,
cioè che conservi le lunghezze, applicata simultaneamente a tutti
gli n corpi, lascia la lagrangiana del problema degli n corpi
invariante. Ogni sottogruppo ad un parametro del gruppo delle
isometrie darà quindi luogo ad un integrale primo.
Infatti consideriamo un'isometria di : per il teorema delle
rotazioni di Eulero , si potrà sempre esprimere come
composizione di una rotazione 
e di una
traslazione 
, cioè nella forma
Se si applica la stessa isometria (indipendente dal
tempo) a tutte le posizioni , la lunghezza delle
velocità non cambia:
e le distanze neppure:
usando la notazione K(X) per indicare il vettore di
formato giuntando i 
si trova quindi
che
Consideriamo un sottogruppo ad un parametro di traslazioni, per esempio nella direzione dell'asse coordinato numero h, con h=1,2,3:
la cui derivata rispetto a s è il versore 
, per cui
la formula del teorema di Noether fornisce l'integrale:
che è la coordinata lungo l'asse del vettore P
della quantità di moto
Da 
si deduce che il
centro di massa 
si muove di moto rettilineo uniforme.
Le coordinate del centro di massa sono integrali primi, anche se dipendenti dal tempo:
e quindi l'esistenza dei tre integrali primi della quantità
di moto consente di eliminare sei variabili, cioè di ridursi
ad un sistema dinamico in 
.
Se invece consideriamo un sottogruppo ad un parametro di
rotazioni attorno ad uno stesso asse 
:
dove 
indica una rotazione di s radianti attorno
all'asse V (in verso antiorario visto dalla testa di V),
allora la derivata rispetto ad s, calcolata per s=0, è
espressa dalla
regola della velocità angolare , cioè dal
prodotto vettore
La formula del teorema di Noether fornisce l'integrale primo:
ossia la coordinata lungo l'asse V del vettore momento angolare
Usare i tre integrali primi corrispondenti alle tre coordinate del vettore momento angolare per ridurre la dimensione dello spazio delle fasi è assai meno facile che nel caso della quantità di moto; il problema sarà discusso nella Sezione 7.1.