6.3 VINCOLI E COORDINATE LAGRANGIANE

 

Sommario Molti sistemi meccanici hanno degli spazi delle configurazioni che non sono aperti di , ma che possono essere descritti da carte locali con coordinate in . Questo si verifica per i moti vincolati di sistemi composti da più corpi puntiformi, o anche da sistemi estesi rigidi o parzialmente rigidi. Le equazioni di Lagrange e di Hamilton possono essere ugualmente impiegate per descrivere la dinamica, in ciascuna carta locale; le proprietà globali delle soluzioni possono però richiedere uno studio attento delle proprietà globali dello spazio delle configurazioni.

Vincoli olonomi

Lo spazio delle configurazioni  a cui appartiene il vettore di stato X di un sistema meccanico può essere definito come sottoinsieme di uno spazio per mezzo di condizioni o vincoli  , espressi da equazioni di varia natura. I vincoli espressi in modo indipendente dal tempo con equazioni del tipo f(X)=0, con f una funzione differenziabile, si chiamano vincoli olonomi  .

Il caso più semplice è quello in cui il sistema consiste di n corpi puntiformi , ciascuno con posizione e massa . Allora è il vettore di stato, che esprime la posizione di tutti i corpi. Gli n corpi avranno un moto vincolato   se la loro posizione è sottoposta a condizioni della forma

l'esempio più ovvio è quello in cui le distanze tra alcuni dei punti sono fisse, oppure alcuni dei punti sono fissi.

Esempio:

Un sistema di due corpi puntiformi, di cui uno è fisso (diciamo nell'origine) e l'altro ha distanza costante dal primo:



Lo spazio delle configurazioni è una sfera .

Esempio:

Un sistema di due corpi puntiformi a distanza costante tra di loro:



Lo spazio delle configurazioni è il prodotto cartesiano di una sfera e dello spazio ordinario: .

Se i due punti sono di massa uguale, e si considera che non ci sia modo di distinguerli, allora lo spazio delle configurazioni è il quoziente di per le identificazioni dei punti antipodali sulla sfera, quindi è il prodotto del piano proiettivo per , e non può essere una sottovarietà di (ma può essere immerso in ). Capita spesso che i sistemi con identificazioni, in cui si passa al quoziente rispetto a qualche simmetria, siano geometricamente più complessi.

Esempio:

Un sistema formato da tre corpi puntiformi, con distanze fisse tra loro:



è l'esempio più semplice di corpo rigido , in cui tutte le distanze sono fisse. Se supponiamo che i tre corpi non siano allineati, lo spazio delle configurazioni è un sottoinsieme di , ma, poiché ci sono 3 vincoli, il numero di gradi di libertà è 6.

Esempio:

Un corpo rigido formato da n>3 corpi puntiformi, con tutte le n(n-1)/2 distanze fisse, ha lo stesso spazio delle configurazioni di quello formato da 3 soli punti non allineati; infatti una volta fissata la posizione di tre punti, la posizione di ogni altro punto del sistema è nota (vedi Sezione 7.3).

Passando al limite per si può ottenere una nozione di corpo rigido con una distribuzione continua di massa; lo spazio delle configurazioni è sempre lo stesso, ma l'energia cinetica conterrà un termine con il momento d'inerzia  che va calcolato con un integrale; si veda la Sezione 7.3.

In tutti questi casi, e anche in molti altri, lo spazio delle configurazioni può essere descritto da vincoli olonomi, ossia come l'insieme degli tale che

dove è un'applicazione di classe . Per il teorema delle funzioni implicite , se la matrice jacobiana ha rango g in un punto , allora esiste un'applicazione di classe

definita in un intorno opportuno W di in tale che

l'insieme (s-g)-dimensionale dei punti che rispettano il vincolo è così parametrizzato in modo surgettivo.

In altre parole, il teorema delle funzioni implicite assicura che se i vincoli sono funzionalmente indipendenti  , cioè con gradienti linearmente indipendenti, in un punto , allora esiste una carta locale dello spazio delle configurazioni -che copre tutti e soli i punti che rispettano il vincolo, in un intorno di - con un numero di coordinate Q pari alla differenza fra la dimensione dello spazio ambiente ed il numero di vincoli. Le variabili Q si chiamano coordinate lagrangiane  .

Le coordinate lagrangiane sono definite da una carta locale, ma per coprire l'intero spazio delle configurazioni, che in è dotato di una struttura di varietà differenziabile , occorrono di solito più carte locali: tra due sistemi di coordinate lagrangiane esistono dei cambiamenti di coordinate che sono diffeomorfismi, della stessa classe di differenziabilità delle equazioni di vincolo, nelle nostre ipotesi di classe .

Supponiamo ora che la forza agente sul sistema possa essere decomposta nella somma di una forza derivante da un campo conservativo con energia potenziale e di una forza derivante dalle reazioni vincolari  , che costringono il moto a rispettare i vincoli. Supponiamo inoltre che vi siano dei vincoli lisci  , cioè le componenti delle reazioni vincolari in direzioni tangenti al vincolo siano nulle. Allora, se è l'energia cinetica, il moto del sistema potrà essere studiato, nel senso che sarà precisato di seguito, per mezzo della funzione di Lagrange

Se una curva X(t) rispetta il vincolo , allora la sua velocità soddisfa le condizioni che si ottengono derivando rispetto al tempo questa equazione, cioè

perciò in ogni punto dello spazio delle configurazioni la velocità è perpendicolare ai gradienti delle funzioni vincolari . Lo spazio vettoriale dei vettori che rispettano questa condizione ha dimensione s-g=b e si chiama spazio tangente  alla varietà dei vincoli nel punto dato.

Derivando ancora una volta rispetto al tempo, si possono determinare quali reazioni vincolari sono necessarie per mantenere una soluzione X(t) soddisfacente ai vincoli:

Questa relazione, per la condizione di perpendicolarità appena vista, coinvolge solamente le componenti dell'accelerazione che si trovano nello spazio normale (dei vettori perpendicolari allo spazio tangente). Ne segue che reazioni vincolari perpendicolari allo spazio tangente sono sufficienti a garantire il rispetto del vincolo, e le equazioni di moto saranno della forma

dove K è la parte dell'accelerazione dovuta alla forza esterna (perciò derivata dall'energia potenziale V(X)), mentre la parte perpendicolare allo spazio tangente contiene i moltiplicatori di Lagrange   arbitrari .

Esempio:

Supponiamo s=3, g=1, cioè prendiamo il caso di una superficie definita da un solo vincolo f(X)=0 nello spazio . Se , esiste una carta locale con due coordinate lagrangiane . Se X(t) è una curva che appartiene alla superficie (identicamente rispetto a t), allora la sua velocità



appartiene al piano tangente generato dai due vettori tangenti alle linee coordinate e , ed è ortogonale al gradiente del vincolo:



Derivando ancora una volta rispetto al tempo si ottiene una condizione sull'accelerazione:



per la quale la componente dell'accelerazione perpendicolare al piano tangente dipende da una forma quadratica nella velocità: se si normalizza il vincolo in modo che (nel punto dato) , la forma quadratica in questione è la seconda forma fondamentale  della superficie.

L'ipotesi che i moltiplicatori di Lagrange possano assumere valori arbitrariamente grandi - quindi che le reazioni vincolari possano essere di intensità arbitrariamente grande - corrisponde all'idea di un vincolo di rigidità infinita e capace di resistere ad ogni sforzo. È evidentemente un'astrazione che poco ha a che fare con il comportamento reale di rotaie ... e simili. Come si vede dall'equazione per , per velocità troppo grandi le reazioni vincolari saranno troppo grandi rispetto alle proprietà di materiali reali, e il modello dei moti vincolati non sarà applicabile.

Moti vincolati

Vogliamo trovare le equazioni di moto di un sistema vincolato, con vincoli olonomi  e lisci . A questo scopo possiamo utilizzare la carta locale X=X(Q), la cui esistenza è garantita dal teorema delle funzioni implicite. È utile ricordare un' altro aspetto di questo teorema: poiché la carta locale parametrizza lo spazio delle configurazioni, se sono i vincoli, allora , e derivando rispetto alle coordinate lagrangiane Q

si ottiene la matrice zero. Considerando il prodotto di due matrici riga per colonna contenuto nella formula precedente, ogni coefficiente zero nella matrice nulla indica una relazione di ortogonalità tra il gradiente di una delle equazioni di vincolo e la velocità rispetto ad una delle coordinate lagrangiane:

Il teorema delle funzioni implicite assicura anche che la matrice jacobiana della carta locale ha rango massimo b, quindi i vettori sono una base dello spazio tangente. Questo è il punto critico nella dimostrazione che è possibile utilizzare il formalismo lagrangiano per i moti vincolati (se i vincoli sono lisci).

Teorema dei moti vincolati :  Siano l'energia cinetica e l'energia potenziale (entrambe di classe ) di un sistema descritto dal vettore di stato e soggetto alla condizione , dove (di classe ) esprime g vincoli funzionalmente indipendenti in ogni punto dello spazio delle configurazioni.

Se sono le coordinate lagrangiane di una carta locale, allora le equazioni di Lagrange sull'insieme W:

sono equivalenti all'ipotesi che il moto X(t) ha accelerazione dovuta solo alle forze esterne con energia potenziale lungo lo spazio tangente, e subisce reazioni vincolari  arbitrarie, ma nulle nelle direzioni tangenti, in modo da mantenere tutti i vincoli.

Dimostrazione:

La dimostrazione del teorema di covarianza delle equazioni di Lagrange  contiene una formula applicabile anche in questo caso:



Per effetto delle ipotesi, e del teorema delle funzioni implicite, la matrice ha rango massimo s-g, cioè ha le colonne linearmente indipendenti che formano una base dello spazio tangente allo spazio delle configurazioni. Ma allora il vettore dei primi membri delle equazioni di Lagrange nelle X appartiene allo spazio ortogonale a questo, cioè



Ora, se la lagrangiana è formata con l'energia cinetica del sistema e con l'energia potenziale delle forze esterne, il primo membro dell'equazione rappresenta la differenza tra le forze percepite dal sistema e le forze esterne (che sarebbe zero, se non ci fossero vincoli). Perciò l'equazione qua sopra esprime l'arbitrarietà delle reazioni vincolari nelle direzioni ortogonali allo spazio tangente, e al tempo stesso che le sole forze esterne sono presenti nelle direzioni lungo lo spazio tangente.

 C.D.D.

Le equazioni di Lagrange per le Q sono in numero minore, quindi rappresentano delle condizioni più deboli delle equazioni di Lagrange per le X. Se però supponiamo che il moto sia vincolato, in modo che i soli valori possibili per le X siano quelli che si ottengono come immagine delle Q tramite l'applicazione X=X(Q), allora le equazioni nelle Q sono sufficienti a descrivere il moto. Le equazioni ``mancanti'' descrivono le reazioni vincolari.

Esempio:

Un pendolo sferico   è un corpo puntiforme di massa m, vincolato a muoversi ad una distanza fissa da un centro, e soggetto ad una forza costante (in direzione ed intensità); possiamo scegliere gli assi in modo che la forza sia in direzione delle z negative, e quindi ammetta come potenziale . Lo spazio delle configurazioni  è il sottoinsieme dello spazio definito da , cioè una sfera. Se parametrizziamo la sfera con la longitudine e la latitudine



allora possiamo usare il teorema di covarianza per l'applicazione tra e X=(x,y,z). Le equazioni di moto saranno ottenute a partire dalla lagrangiana in coordinate cartesiane



esprimendo la stessa quantità in funzione delle coordinate polari. Si usano in sostanza le stesse formule che esprimono le velocità cartesiane nelle coordinate polari sferiche , salvo che identicamente e quindi :



Sostituendo nella lagrangiana ,





La variabile è ciclica, quindi una delle due equazioni di Lagrange asserisce la costanza del momento coniugato :



con una costante da determinare in base alle condizioni iniziali. L'altro momento, coniugato a , è



con la sua equazione di Lagrange



Per sfruttare in la presenza della variabile ciclica dobbiamo eliminare la sua velocità dall'equazione di Lagrange per ; in questo modo otterremmo un sistema lagrangiano ad un solo grado di libertà. Questo calcolo è più agevole se si usa la trasformata di Legendre per passare al sistema hamiltoniano corrispondente: ricordando la formula della matrice inversa, si trova immediatamente



e sostituendo al momento il suo valore costante si trova una hamiltoniana ad un grado di libertà con un parametro:



 
Figure 6.2:  Piano delle fasi del pendolo sferico, per un valore fisso della componente z del momento angolare.


Lo studio qualitativo di questo sistema ad un grado di libertà è molto semplice: chiamando l'energia potenziale effettiva (l'espressione tra parentesi quadre, funzione solo di e del parametro ) i limiti agli estremi dell'insieme di definizione sono



quindi tutti gli insiemi di livello sono compatti. Il solo punto di equilibrio è in e



che ha una sola soluzione con , come si può vedere confrontando i grafici dei due membri. Poiché è il solo punto stazionario di , sarà necessariamente il minimo, quindi un punto di equilibrio stabile; tutte le altre soluzioni per sono periodiche, cioè oscillazioni attorno a . La soluzione per si trova per quadratura , a partire dall'equazione di Hamilton per :



Questa descrizione del moto del pendolo sferico ha soltanto due ``eccezioni'', cioè i punti ai due poli con ; in questi punti la parametrizzazione con fallisce (la sua matrice jacobiana non ha rango 2). Si potrebbe naturalmente utilizzare un'altra carta locale (per esempio con latitudine e longitudine riferite ad un altro equatore che passa per i poli dell'altra carta), ma non è necessario. Se il pendolo passa per uno dei due poli allora (la componente z del momento angolare) si annulla ed il moto si svolge lungo un meridiano; in questo caso possiamo usare la variabile angolo come parametro sul meridiano con , e la funzione di Hamilton (la stessa, con )



coincide con quella ottenuta nel caso del pendolo piano.

Questo esempio illustra il fatto che un integrale primo ha esattamente gli stessi effetti di un vincolo: il pendolo sferico è obbligato a muoversi nel piano per rispettare l'integrale primo, non perché il movimento solo nel piano faccia parte della definizione del sistema meccanico.

I due poli della sfera nell'esempio qua sopra illustrano un problema che si incontra spesso nella soluzione di problemi lagrangiani: la presenza di singolarità isolate   nel sistema di coordinate lagrangiane, cioè punti dello spazio delle configurazioni per i quali le coordinate usate non sono lagrangiane, non sono una carta locale. La parola ``isolate'' va intesa nel senso topologico, cioè esiste un intorno di ciascuno di questi punti di singolarità in cui non ce ne sono altri. A questi punti non si può applicare il teorema dei moti vincolati , perché cade o l'ipotesi di differenziabilità, o quella che la matrice jacobiana della carta ha rango massimo, o addirittura la carta locale non è definita. Però se questi punti singolari sono topologicamente isolati, non è necessario trovare un'altra carta che li contiene, basta sapere che esiste. Perciò una soluzione dell'equazione di Lagrange, valida in tutti i punti tranne che nelle singolarità isolate, potrà passare per una di queste ed il comportamento della soluzione nel momento di questo passaggio (per esempio, la velocità) sarà unicamente determinato per continuità.

Così per esempio il punto sulla sfera con , essendo un punto di minimo del potenziale, sarà un punto di equilibrio stabile per il teorema di stabilità del minimo , anche se le equazioni di Lagrange calcolate qua sopra non valgono in quel punto. Per il teorema delle funzioni implicite  la sfera è una superficie regolare in ogni suo punto, quindi attorno ai poli esiste un'altra carta in cui si possono scrivere equazioni di Lagrange che hanno soluzioni sufficientemente regolari (per esempio, rispetto al tempo), il che rende legittimo completare per continuità le soluzioni mentre passano dalle singolarità.

Problema Un pendolo doppio   è un sistema di due corpi puntiformi di masse , di cui il primo è ad una distanza fissa da un centro fisso, il secondo ad una distanza fissa dal primo:

Limitiamoci a considerare un pendolo doppio piano:

Lo spazio delle configurazioni è il toro  , parametrizzato da due variabili angolo con

sia nel caso di un moto libero (senza forze esterne), sia nel caso in cui l'energia potenziale deriva da un'accelerazione costante in direzione -y, cioè

Scrivere la lagrangiana e la hamiltoniana, e determinare le eventuali posizioni di equilibrio. Nel caso dell'accelerazione costante dimostrare che la posizione è un punto di equilibrio stabile.

Suggerimento: Nel caso con accelerazione costante, il minimo assoluto dell'energia potenziale si ha quando sia che sono minimi; in tale posizione l'energia è minima, e per il teorema di stabilità di Lyapounov , o meglio per la sua diretta conseguenza, il teorema di stabilità del minimo , si deve avere un punto di equilibrio stabile; il fatto che il punto di minimo sia una delle singolarità isolate  non importa.

(Soluzione)

Problema Sia dato un disco di massa m e raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse perpendicolare al centro Q; il momento d'inerzia  è ; supponiamo che il centro del disco sia libero di muoversi in un piano verticale, ma ad una distanza costante da un punto fisso O. Lo spazio delle configurazioni è un toro, parametrizzato con l'angolo formato dalla congiungente OQ con la verticale, e dalla fase di rotazione del disco. Mostrare che

(I)

nel caso in cui non ci siano forze esterne il sistema descrive un qualsiasi flusso di Kronecker ;

(II)

in presenza di accelerazione di gravità costante g, il moto è descrivibile come prodotto cartesiano del moto di un pendolo nonlineare e di un rotore libero ;

(III)

in presenza di una qualsiasi forza esterna, con energia potenziale funzione soltanto di , il sistema è integrabile.

Il problema qua sopra, l'esempio che lo precede, ed un problema nella Sezione 6.6, forniscono 5 diversi sistemi lagrangiani aventi un toro per spazio delle configurazioni; di questi, 4 sono integrabili.