Sommario Se un aperto del piano delle fasi è riempito da orbite
periodiche, si vorrebbe parametrizzare ciascuna di queste con una
variabile angolo, che si accresca di 
in un periodo. Se la
variabile angolo così ottenuta fa parte di una coppia di
coordinate canoniche, queste ultime possono ridurre il problema ad uno
banale in cui il flusso integrale è formato da soli scorrimenti.
Se la hamiltoniana H(p,q) sull'aperto W ha insiemi di livello tutti
compatti, che si riducono ad una sola curva regolare, semplice e
chiusa, allora ognuna di queste curve di livello individua un'orbita
periodica. Bisogna in effetti distinguere due casi: se la coordinata q
appartiene a 
, allora un'orbita periodica deve avere entrambe le funzioni
periodiche con lo stesso periodo P:
In questo caso si parla di orbite periodiche del tipo librazione . La curva di livello racchiude una parte del piano in cui (se H(p,q) è definita) deve esserci almeno un punto di equilibrio. In questo caso le curve di livello corrispondenti a valori vicini riempiono un insieme diffeomorfo ad una corona circolare.
Se invece la coordinata q è una variabile angolo , lo
spazio delle fasi è in effetti contenuto in un cilindro
, e le orbite periodiche possono essere di due tipi: le
librazioni (in cui entrambe le coordinate sono funzioni periodiche di periodo
P), e le circolazioni con
In questo caso le orbite periodiche si avvolgono sul cilindro in modo da non essere il bordo di una regione compatta.
Figure 5.13: Orbite periodiche del tipo della librazione (a
sinistra) e della circolazione (a destra); queste ultime hanno senso
solo nel caso di una coordinata che sia una variabile angolo, quindi
lo spazio delle fasi è un cilindro e non una porzione di piano.
Esempio:
q può essere sempre considerata una variabile angolo se V(q) è
una funzione periodica di periodo , come nel caso del
pendolo .
Se il livello di energia E=H(p,q) è tale che 
, allora
non si annulla mai, e quindi q(t) è una funzione monotona
(crescente, per la componente dell'insieme di livello nel semipiano
p>0; decrescente, in p<0) che non può essere periodica. Però
la condizione 
implica che quando q è aumentato (o
diminuito) di il valore di p ritorna ad essere lo stesso, e
quindi si ha un'orbita periodica del tipo circolazione.
Se al contrario 
(incluso il caso V(q) illimitata),
allora ci sono dei valori per l'angolo q in cui V(q)>E:
questi valori sono ``proibiti'' per l'insieme di livello H(p,q)=E; se
V(q) ha un minimo, l'insieme di livello è compatto, e se non
contiene punti di equilibrio si ottiene un'orbita periodica del tipo
della librazione.
Figure 5.14: Orbite periodiche del tipo della librazione e
della circolazione nello stesso sistema hamiltoniano; si intende che
la variabile q è un angolo, quindi due rette che differiscono di
un angolo giro si intendono identificate.
Problema
Dimostrare che nelle orbite periodiche del tipo della circolazione
, cioè l'orbita non può richiudersi dopo più di un giro.
Suggerimento: Considerare la curva (p(t),q(t)) sull'intervallo 
, dove P è il periodo. Se quando q è cresciuto di
il valore di p fosse diverso, le copie della stessa curva
ottenute per traslazione di 
si
incrocerebbero tra loro, e questo incrocio...
Si noti che l'affermazione del problema precedente non vale per un sistema discreto: in una mappa standard ci possono essere orbite periodiche di qualsiasi periodo, e che fanno fare ad una variabile angolo un numero arbitrario di giri.
Per descrivere un simile pacchetto di orbite periodiche l'ideale
sarebbe disporre di un sistema di coordinate 
tale che un aperto W
del piano delle fasi, costituito solo da orbite periodiche (tutte del
tipo librazione o tutte del tipo circolazione), sia mandato
nel rettangolo
con la variabile angolo 
che parametrizza le orbite periodiche
aumentando di ogni periodo, e la variabile I costante su ogni
orbita periodica. Supponiamo che questo si verifichi, con un
cambiamento di coordinate 
regolare (di classe
), e supponiamo anche che questo cambiamento di coordinate sia
canonico .
Allora dal fatto che I è costante
sulle soluzioni, cioè un integrale primo , deduciamo che
la hamiltoniana 
nel nuovo sistema di coordinate non dipende
dalla :
In un tale sistema di coordinate, il sistema hamiltoniano è risolto
banalmente, con il flusso integrale in funzione della condizione
iniziale 
dato da soli scorrimenti:
è una velocità angolare, quindi ha la
dimensione dell'inverso del tempo; se supponiamo che la
hamiltoniana sia dimensionalmente un'energia, allora la variabile I
ha la dimensione di un'energia moltiplicata per un tempo, e per questo
si chiama variabile azione . La
frequenza 
, che è costante per ogni orbita, è la
frequenza propria .
Esempio:
con R una lunghezza caratteristica del corpo ed 
un
coefficiente che dipende dalla forma e distribuzione di massa (per
esempio 
per una sfera di densità uniforme, essendo R
il raggio); il potenziale è V(q)=0, quindi dalla trasformata di
Legendre:
Poiché la hamiltoniana è funzione solo di p, (p,q) è una
coppia di variabili azione-angolo. Si noti che q cambia con
velocità angolare 
, quindi p è il
momento angolare, che ha la dimensione di un azione.
Esempio:
la trasformazione canonica
semplifica il sistema riducendo la hamiltoniana a
da cui I è una variabile azione, una variabile angolo,
con frequenza propria costante rispetto ad I.
Esercizio Trovare le variabili azione ed angolo per la funzione di Hamilton
che esprime l'oscillatore armonico più generale. (Soluzione)
Abbiamo visto i vantaggi che presenterebbe la disponibilità di una coppia di variabili canoniche delle quali la prima sia una variabile azione e la seconda una variabile angolo,
tali che la hamiltoniana trasformata sia funzione della sola azione; in questo caso parliamo di variabili azione-angolo .
Data una hamiltoniana H(p,q), per trovare una adeguata variabile
azione si può impiegare la proprietà delle trasformazioni canoniche
di conservare l'area. Supponiamo che (p(t),q(t)) sia una orbita
periodica (di periodo P) del tipo librazione; allora la traiettoria
è una curva nel piano (p,q) che fa da bordo 
ad un
insieme D, la cui area può essere calcolata con la
formula di Green :
L'insieme D viene trasformato nel piano in un insieme che
chiamiamo E, la cui area è, per la stessa formula:
se facciamo l'ipotesi che la trasformazione sia canonica, le due aree sono uguali, quindi
Ora la curva 
nel piano altro non è che la
soluzione corrispondente a nel piano (p,q); se imponiamo
la condizione che siano variabili azione-angolo, allora 
è
costante e varia in 
, quindi
Figure 5.15: L'area della regione racchiusa da un'orbita
periodica si trasforma, nel piano delle variabili azione-angolo,
nell'area del rettangolo con altezza pari alla variabile azione
e base pari all'angolo giro.
ossia, la variabile azione è l'area racchiusa dall'orbita periodica,
divisa per .
In realtà la variabile azione è definita a meno di una costante, ma noi abbiamo imposto che
il che è vero solo se E è il rettangolo
Per esempio, se le orbite periodiche di W sono quelle che attorniano un punto di equilibrio stabile, abbiamo imposto che I tenda a zero quando l'orbita periodica tende al punto di equilibrio. Se le orbite periodiche per cui si sta cercando la variabile azione racchiudono più di un punto di equilibrio, allora la variabile azione è inevitabilmente definita a meno di una costante arbitraria; lo stesso vale per le orbite periodiche di tipo circolazione.
Se la hamiltoniana è del tipo
(con 
), un'orbita periodica deve passare per due punti
e 
, tali che 
(perché l'energia
è la stessa, 
); supponiamo 
. Allora l'area
racchiusa dalla curva è data dall'integrale (con per parametro
il valore E dell'energia):
e quindi la variabile azione, in funzione dell'energia, è
La soluzione è quindi ottenuta invertendo la funzione I(E),
il che fornisce E=K(I), la cui derivata è la frequenza
che fornisce il periodo 
.
Problema
Dimostrare che ogni orbita periodica di una hamiltoniana del tipo
passa da esattamente due punti con p=0.
Suggerimento: All'interno della curva deve esserci un punto di equilibrio, che può stare solo su p=0, perciò ci sono almeno due intersezioni con p=0. Se ce ne fossero più di due...
Esercizio Consideriamo l'energia potenziale
che individua la regione 
delimitata da un
muro di potenziale soffice, nel senso che
Trovare la variabile azione e scrivere la soluzione per quadratura. Si noti che gli integrali presenti nelle formule di quadratura possono essere calcolati con formule analitiche finite.
Problema
Trovare la variabile azione per una palla ``perfettamente elastica''
di massa m che rimbalza tra due muri fissi a distanza d tra di
loro. Questo problema contiene un muro di potenziale duro,
in cui il potenziale salta da V(q)=0 per |q|< d/2 a
per |Q|>d/2.
Suggerimento: Le soluzioni generalizzate
sono segmenti con momento p , quindi velocità 
, costante
nel tratto tra -d/2 e d/2, poi il momento cambia segno
istantaneamente. Quindi le aree racchiuse dalle orbite periodiche
sono rettangoli.
Cerchiamo di descrivere la trasformazione canonica a variabili azione-angolo con una funzione generatrice
Una soluzione nel piano (p,q) descrive una curva di livello H(p,q)=E;
nel piano la soluzione corrispondente ha equazione K(I)=E,
quindi I= costante. Se ci restringiamo ad una singola orbita periodica
con azione I, la derivata parziale di S rispetto a q è la funzione
di (I,q) che fornisce p, quindi
e la funzione generatrice è sempre esprimibile mediante funzioni
implicite (p ricavato come funzione di q da H(p,q)=E) e
quadrature. Però sorge un problema quando il punto (p,q) fa un giro
sull'orbita periodica la cui traiettoria è la curva 
:
infatti l'integrale curvilineo della forma differenziale lineare
non è mai nullo, e quindi la funzione S è una
funzione polidroma , soltanto localmente definita
in modo univoco; ad ogni giro la funzione aumenta di una quantità fissa
. Del resto
la variabile angolo può essere calcolata come
e il suo incremento dopo un giro sull'orbita periodica è
Le funzioni generatrici si ottengono come funzioni potenziali di forme chiuse, quindi localmente esatte, ma non necessariamente esatte in grande: ciò significa appunto che non sono necessariamente funzioni ad un solo valore. Questo però non impedisce che la trasformazione canonica sia ben definita, in particolare quando si vuole ottenere una variabile angolo.
Esempio:
calcoliamo la variabile azione I come area racchiusa dalla curva H(p,q)=E:
dove 
, cioè
. Questo integrale è elementare, con
la sostituzione
La variabile usata nella sostituzione in effetti è la variabile angolo.
A questo punto 
e la frequenza , come
sappiamo, è costante. Se si calcola la funzione generatrice
a partire dalla esplicitazione di p:
si ottiene la quadratura
che si risolve con la sostituzione (in effetti la stessa di prima):
dove al posto dell'estremo q va sostituita 
. In conclusione
Si noti che il primo termine altro non è che 
.
Questo esempio, che pure è il più semplice possibile di un calcolo esplicito delle variabili azione angolo mediante quadrature, è già abbastanza difficile. In effetti le variabili azione-angolo sono soprattutto utili come strumento di descrizione geometrica, non necessariamente di calcolo esplicito. Per una trattazione delle principali applicazioni delle variabili angolo, sempre nel contesto dei sistemi ad un grado di libertà, si veda [Percival-Richards 82], ai Capitoli 8 e 9.