Iniziamo con questo capitolo lo studio dei sistemi dinamici continui nel caso conservativo; vengono affrontati solo i sistemi conservativi ad un grado di libertà, cioè con spazio delle configurazioni di dimensione uno, e quindi con lo spazio della fasi (quello in cui si assegna la condizione iniziale) di dimensione due. Questi sistemi possono presentarsi in diverse forme, a seconda del formalismo impiegato nella scrittura delle equazioni differenziali: newtoniano, hamiltoniano, lagrangiano. Tutti questi formalismi vengono introdotti nel caso ad un grado di libertà; la loro generalizzazione ad un arbitrario numero di gradi di libertà viene svolta nel Capitolo 6. I sistemi conservativi ad un grado di libertà, nel caso indipendente dal tempo, sono integrabili, e forniscono i principali esempi di sistemi dinamici nonlineari per i quali si può descrivere in modo esplicito la soluzione, mediante formule finite, anche se contenenti quadrature e funzioni implicite o inverse. La descrizione delle proprietà qualitative delle soluzioni è non solo possibile, ma in molti casi facile; in particolare si possono discutere orbite periodiche, insiemi limite, separatrici, eccetera.