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5.1 SISTEMI NEWTONIANI E HAMILTONIANI

 

Sommario I sistemi hamiltoniani generalizzano quelli newtoniani, ma sono caratterizzati dalla presenza di un integrale primo. Perciò nel caso di un solo grado di libertà la descrizione qualitativa delle soluzioni richiede soltanto lo studio di una funzione di due variabili, come nel caso newtoniano. Inoltre un sistema dinamico hamiltoniano è conservativo.

Sistemi newtoniani

Consideriamo un sistema newtoniano ad un grado di libertà 

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con energia cinetica, energia potenziale ed energia totale:

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Le equazioni del sistema dinamico corrispondente possono essere espresse in termini delle derivate dell'energia totale:

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Sistemi hamiltoniani

Questa forma delle equazioni si può generalizzare ad una qualsiasi funzione di due variabili, detta hamiltoniana   H(p,q): le equazioni di Hamilton   definite da H(p,q) sono quelle del sistema dinamico continuo

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Ogni sistema dinamico che si può porre in questa forma si dice sistema hamiltoniano ad un grado di libertà  .

Proprietà:

Un modo più sintetico di scrivere le equazioni di Hamilton fa uso della matrice di tipo tex2html_wrap_inline34726 già utilizzata come unità immaginaria nella rappresentazione matriciale dei numeri complessi (nella Sezione  2.4):

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per cui si può riscrivere la derivata totale di H(p,q) come

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che si annulla perché una matrice antisimmetrica definisce una forma quadratica nulla. Più in generale, data una qualunque funzione G(p,q), la sua derivata totale si può descrivere con lo stesso metodo:

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dove il simbolo tex2html_wrap_inline40848 rappresenta la parentesi di Poisson  che ha la proprietà di antisimmetria tex2html_wrap_inline40850 .

Esempi di sistemi hamiltoniani

Esempio:

Esempio:

Esempio:

Esercizio Studiare i sistemi dinamici ottenuti dalle hamiltoniane somma di un'energia cinetica tex2html_wrap_inline40914 (con m>0) e di un potenziale cubico tex2html_wrap_inline40918 , con a,b,c,d parametri reali.

Suggerimento: Se a=0 si ottiene un sistema dinamico lineare, il cui punto di equilibrio sarà una sella o un centro a seconda dei casi. Se tex2html_wrap_inline36134 , eseguire una traslazione x=q-w scegliendo la costante w in modo da annullare il termine quadratico; si riduce il potenziale, a meno di una costante, a tex2html_wrap_inline40930 . A meno di scambiare x con -x si può supporre a>0; perciò l'andamento qualitativo delle curve di livello dipende solo dal segno di k.

Esempio:

I sistemi hamiltoniani sono conservativi

La principale proprietà che contraddistingue i sistemi dinamici definiti da equazioni di Hamilton è che il relativo flusso integrale  è conservativo :

Teorema di Liouville in due variabili :  Sia H(p,q) una funzione di classe tex2html_wrap_inline34798 . Se (p(t),q(t)) è la soluzione con condizione iniziale tex2html_wrap_inline40872 , la trasformazione

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conserva l'area, e questo per ogni tex2html_wrap_inline34368 per cui è definita.

Dimostrazione:

 C.D.D.


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Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997