8.5 SISTEMI A COEFFICIENTI PERIODICI

 

Sommario Se la dipendenza dal tempo è periodica, il comportamento delle soluzioni può essere studiato tramite la mappa che descrive la trasformazione delle condizioni iniziali nelle soluzioni dopo un periodo. In questo modo si possono individuare le soluzioni periodiche (con lo stesso periodo), e discutere la loro stabilità. Nel caso lineare questa procedura fornisce un metodo di calcolo esplicito per decidere la stabilità delle soluzioni periodiche.

Sistemi periodici

Le soluzioni di sistemi di equazioni differenziali (non necessariamente lineari) con secondi membri periodici (rispetto al tempo) hanno delle proprietà valide in generale, che ci serviranno poi nel caso lineare.

Proprietà:

Sia periodica nella seconda variabile, ossia esista un periodo  T>0 tale che F(X,t)=F(X,t+T) per ogni . Se il flusso del sistema è definito per ogni , allora
• è invariante rispetto alle traslazioni di T sull'asse dei tempi:

  

• se l'insieme di trasformazioni

  

  è un gruppo rispetto al prodotto di composizione, e .
Infatti
• Confrontiamo le traiettorie che partono dal punto ai tempi e (nei rispettivi spazi delle fasi). Sia , dove

  

  Allora, grazie all'invarianza per traslazioni della derivata ed alla periodicità di F rispetto al tempo, si ha

  

  da cui, per l'unicità della soluzione passante per al tempo , per ogni , ovvero .

• La seconda dipende dalla prima: poiché , si ha .

Lo studio della stabilità delle soluzioni del sistema a coefficienti periodici può essere ricondotto a quello della stabilità di B, nel senso di seguito precisato.

Definizione:

Per il sistema , , si dice che è

• una soluzione stabile   nel senso di Lyapounov se per ogni esiste un tale che:

  

• una soluzione asintoticamente stabile   nel senso di Lyapounov se è stabile, e inoltre esiste un tale che:

  

Teorema delle soluzioni periodiche :  Sia F(X,t) periodica nel tempo con periodo T. Se il flusso del sistema è definito per ogni , e , allora

• la soluzione X(t) passante per è periodica di periodo T se e solo se è un punto fisso di B ( ), ed è stabile (asintoticamente) se e solo se B è una applicazione stabile  (asintoticamente ) in ;
• se F(X,t)=A(t)X è anche lineare in X, allora B è lineare e .

Dimostrazione:

Sia X(t) la soluzione periodica che parte da al tempo : allora . Ma



ovvero, ricordando che ,



Inoltre, se la soluzione periodica X(t) passante per è stabile, le traiettorie che partono vicino a tornano periodicamente in un suo intorno: ovvero B è stabile in quanto, per ogni n:



se X(t) è asintoticamente stabile, lo è anche B perché si può passare al limite per .

Viceversa, se è stabile B e X(t) è periodica, le traiettorie che partono vicino a non si discostano molto da X(t): posto



si ha, per la continuità della dipendenza del flusso dalle condizioni iniziali,



se ; se B è asintoticamente stabile, il maggiorante tende a 0 per .

Nel caso lineare, la linearità di discende da quella del flusso integrale; usando il teorema del determinante wronskiano  per calcolare , da Tr A(t)=0 segue .

 C.D.D.

Equazioni lineari a coefficienti periodici

I risultati precedenti si applicano in particolare allo studio di alcune equazioni a coefficienti periodici che siano lineari.

Il moto (piccole oscillazioni) di un pendolo piano con lunghezza variabile in modo periodico è governato (in assenza di dissipazione) dall'equazione

con (si suppone ) per un T>0, ovvero dal sistema

in cui l'origine corrisponde alla posizione di equilibrio . Poiché Tr A(t)=0, per il teorema delle soluzioni periodiche , l'applicazione B è lineare e conserva l'area .

Le soluzioni del sistema sono stabili intorno all'origine se e solo se B è stabile, ovvero se e solo se le parti reali dei suoi autovalori hanno valore assoluto non superiore a 1, ossia se e solo se vale il criterio della traccia  |Tr B|<2; in tal caso, infatti, poiché gli autovalori B sono complessi coniugati, e la loro comune parte reale è pari a (Tr B/2) che è in modulo minore di 1 (se invece sono reali e distinti non possono avere entrambi modulo minore di 1).

In particolare Tr, come funzione che associa valori reali alle funzioni continue per mezzo della matrice B, è un operatore continuo (è continua la somma) : allora l'insieme delle funzioni continue per le quali il sistema è stabile

è un aperto dello spazio (immagine inversa dell'aperto (-2,2)). In altre parole, perturbando un corrispondente ad un sistema stabile si ottiene un nuovo sistema ancora stabile: si parla in tal caso di sistema fortemente stabile  .

Esempio:

Quanto sopra permette di studiare la stabilità intorno all'origine di una classe di equazioni a coefficienti quasi costanti   del tipo



in funzione dei parametri ed . Si suppone a(t) periodica con periodo ed nel senso che : è il caso, per esempio, di un'altalena, ossia delle piccole oscillazioni di un pendolo con frequenza variabile di poco intorno ad un valore medio .

La figura 8.6 indica, nel piano di coordinate , le zone corrispondenti alle coppie di parametri che individuano un sistema stabile intorno all'origine: la zona tratteggiata è l'insieme per cui |Tr B|<2.

 
Figure 8.6:  Risonanza parametrica: nel caso e , sono tratteggiate le zone di stabilità, corrispondenti a |Tr B|<2.


È evidente che per certi valori dei parametri in prossimità di multipli seminteri della frequenza propria dell'altalena ( , con ) la posizione di equilibrio inferiore è instabile: cioè una variazione periodica dei valori dei parametri permette di dondolarsi sull'altalena. Il fenomeno è detto della risonanza parametrica  .

A tale conclusione si giunge studiando la condizione |Tr B|<2 nell'intorno dei punti sull'asse ( ), in corrispondenza dei quali il problema è lineare e B può essere esplicitamente calcolato:



Allora se ; perciò il dominio d'instabilità interseca l'asse solamente nei punti , .