Sommario Ci limitiamo per semplicità ad enunciare e dimostrare il teorema di non integrabilità di Poincaré per una ``generica'' perturbazione di un problema integrabile a due gradi di libertà.
Teorema di non integrabilità di Poincaré :
Sia 
con 
aperto di 
e 
.
Sia la parte integrabile 
non degenere , cioè tale che
Sia la perturbazione 
della hamiltoniana
sviluppabile in serie di Fourier uniformemente convergente:
con tutti i coefficienti 
diversi da zero per 
.
In realtà, è sufficiente che, per ogni , sia
finito il numero dei coefficienti 
nulli.
Allora il sistema non è integrabile, nel senso che non ha un
secondo integrale 
, analitico reale in 
e
funzionalmente indipendente da H.
Dimostrazione:
dove i puntini stanno per una serie di potenze in ,
uniformemente convergente (in 
, con W un compatto
contenuto in D).
Se G è un integrale primo, la sua derivata totale lungo le soluzioni si annulla. Con il formalismo della parentesi di Poisson si ricava allora
e, sviluppando in serie di potenze rispetto a ,
Se questa serie di potenze di deve essere nulla identicamente
rispetto a , si devono annullare i termini di ciascun ordine:
per l'ordine zero,
implica che 
deve essere un integrale primo del sistema
integrabile con hamiltoniana 
. Siano ora
le frequenze proprie del sistema imperturbato (con hamiltoniana
). Tra i tori I=cost ce ne sono alcuni su cui il rapporto
delle frequenze 
è irrazionale: per il
teorema del ritorno , in un tale toro ogni orbita di
è densa e , funzione continua costante sulle
orbite, è costante. I valori di 
che
sono tra loro in un rapporto irrazionale sono densi nel piano delle
frequenze: inoltre l'insieme denso di frequenze con
rapporto irrazionale proviene da un insieme denso di valori di
I, dal momento che l'applicazione 
definita dal
gradiente di è un diffeomorfismo locale, avendo
determinante jacobiano
Quindi è
costante su di un insieme di tori che è denso in 
,
e si può concludere che
L'equazione relativa all'ordine 1 in è
che, tenendo conto che e dipendono solo
dalle I, si semplifica in
Ora, se 
è un integrale primo, deve essere periodico di periodo
nelle variabili angolo e di classe 
, quindi ammette uno
sviluppo in serie di Fourier:
Sostituendo questo sviluppo, e quello analogo di , si trova
(derivando per serie, il che è lecito perché la serie di
Fourier delle derivate è convergente):
Se questa serie di Fourier deve essere identicamente nulla, tali devono essere i suoi coefficienti:
Scegliamo I in modo che il rapporto fra le frequenze
sia razionale, cioè 
, con 
; allora
per 
è nullo il divisore
Quindi per tali valori di I e di K l'equazione nei coefficienti si riduce a
che ha due sole possibili soluzioni: o 
, ma questo non
è possibile (se anche fosse nullo, non possono essere nulli
gli infiniti coefficienti 
con s intero, che danno luogo
allo stesso problema); oppure
che implica che i due vettori 
e 
, entrambi ortogonali a K, sono paralleli: allora, poiché
è il gradiente di , i gradienti di
ed sono paralleli in I: l'insieme delle I per le quali
ciò si verifica (quelle corrispondenti ad rapporto razionale
fra le frequenze) è denso in D; perciò i due gradienti sono
sempre paralleli.
Se due funzioni hanno gradienti paralleli, sono - almeno localmente - funzionalmente dipendenti , ossia esiste una funzione F (differenziabile) tale che
Consideriamo ora la funzione
che è ancora un integrale primo e che
è identicamente nulla per 
. Sviluppando di nuovo, si ha allora
dove G' è ancora un integrale primo: ripetendo lo stesso
ragionamento, 
è funzionalmente dipendente da .
Procedendo per induzione, si dimostra che ad ogni
ordine in è funzionalmente dipendente da
: poiché per ipotesi G è una funzione
analitica reale in , ne segue che G=f(H) non può essere un
integrale primo indipendente dalla hamiltoniana.
Per dimostrare che un dato problema non è integrabile si deve
dimostrare anche che lo
sviluppo in serie di Fourier della perturbazione ha la
proprietà di non avere infiniti coefficienti che si annullano, o
qualche altra proprietà che può servire allo stesso scopo. Questo
fu appunto dimostrato da Poincaré per il problema dei tre
corpi; si veda [Poincaré 1892].
Tuttavia, alcuni anni dopo Sundman dimostrò che esiste una rappresentazione delle soluzioni del problema dei tre corpi con una serie uniformemente convergente; il premio però era già stato assegnato. Il suo risultato non contraddiceva quello di Poincaré, perché le serie di Sundman non sono del tipo utilizzato nei sistemi integrabili secondo Weierstrass. Le serie ``alla Weierstrass'' sono del tipo praticamente impiegato nelle teorie perturbative che gli astronomi utilizzano per predire le orbite dei pianeti, mentre quelle di Sundman sono difficilmente utilizzabili per calcoli di questo tipo; quindi, benché il risultato di Sundman sia di grande importanza teorica, l'impatto del teorema di non integrabilità di Poincaré sugli sviluppi della ricerca in dinamica è stato molto maggiore.