Sommario Discutiamo, senza conclusioni precise, la nozione di caos, che dovrebbe descrivere le proprietà qualitative delle orbite di sistemi hamiltoniani non integrabili, che non sono rappresentabili mediante serie di Fourier. Vengono esaminate due possibili definizioni, basate l'una sugli esponenti di Lyapounov, l'altra sulla chiusura topologica delle orbite: entrambe presentano dei problemi di non facile soluzione.
Se un sistema dinamico hamiltoniano non è integrabile, ed è dotato di orbite con esponenti di Lyapounov positivi, che cosa si può dire delle sue soluzioni? Non disponendo di una formula analitica (né di una serie di Fourier) per descrivere il flusso integrale, e neppure di un procedimento di approssimazione numerica affidabile, i metodi tradizionali di descrizione delle soluzioni devono essere abbandonati, o almeno usati solo entro limiti ben precisi (per esempio, per tempi non troppo più lunghi del tempo di Lyapounov ).
Ciò che si vorrebbe è una definizione (o anche più d'una) soddisfatta dal comportamento di orbite di questo tipo, o almeno di una frazione significativa di queste, che possa essere utilizzata per costruire una nuova teoria qualitativa. Le definizioni di questa classe impiegano di solito il nome di caos ; non esiste però una definizione di caos che, considerata completamente soddisfacente, sia comunemente accettata dai ricercatori impegnati oggi in questo campo. Anziché dare la nostra definizione, preferiamo dare un'idea dei problemi che sorgono nel cercare di individuare la definizione ``buona''.
Una prima definizione di orbita caotica potrebbe richiedere che esista almeno un esponente di Lyapounov positivo. Indubbiamente la dipendenza critica dalla condizione iniziale è una proprietà molto importante; per di più esiste almeno un procedimento numerico di approssimazione che consente di ricavare un valore indicativo del massimo esponente di Lyapounov.
Questa definizione ha però due difetti. Il primo è illustrato
dall'equazione del pendolo: 
: il punto di sella
in 
ha una coppia di esponenti di Lyapounov reali e di
segno opposto; si può mostrare che anche le separatrici hanno
esponenti di Lyapounov non nulli. Ciononostante il sistema è
integrabile, e variabili azione-angolo possono essere definite
ovunque, salvo che sulle separatrici; tutte le orbite sono calcolabili
per quadratura, anche quelle sulle separatrici. A parte il fatto che
una conoscenza imperfetta delle condizioni iniziali, o l'uso di un
integratore numerico poco accurato, potrebbe creare problemi nel
predire l'andamento a lungo termine di una soluzione molto vicina alla
separatrice, non c'è nessuna forma di imprevedibilità
nell'andamento qualitativo delle soluzioni. Quindi la presenza di un
esponente di Lyapounov positivo non basta a definire il caos.
Il secondo problema è posto dall'esempio del problema dei tre corpi. Senza entrare nei dettagli, che apparterrebbero ad un corso di Meccanica Celeste, si può comprendere intuitivamente che un terzo corpo di massa piccola (diciamo una cometa) che abbia degli incontri ravvicinati con uno dei due corpi più grandi (diciamo Giove), può essere spedito, per effetto di questi incontri, su una traiettoria illimitata simile ad una traiettoria iperbolica del problema dei due corpi cometa-Sole. Usando questa somiglianza (cioè una teoria perturbativa), ed il risultato del problema che discuteremo qui sotto, si può mostrare che una simile orbita di espulsione ha esponenti di Lyapounov tutti nulli. Perciò ci sono orbite con comportamento estremamente irregolare ed estremamente instabile, con sequenze di incontri ravvicinati terminate dall'espulsione, che vorremmo chiamare caotiche, ma che non sono coperte da una definizione basata solo sugli esponenti di Lyapounov.
Problema Dimostrare che gli esponenti di Lyapounov di un'orbita iperbolica del problema dei due corpi sono tutti nulli.
Un altro tipo di definizione potrebbe essere basata sulla
transitività topologica, cioè sulla natura dell'insieme che si
ottiene come chiusura topologica di un'orbita. Le orbite di un sistema
integrabile a due gradi di libertà o sono periodiche, quindi formano
un insieme chiuso , oppure sono dense in un toro 
. Le orbite
caotiche non sono confinate né in un toro, né in alcun altra
varietà invariante della stessa dimensione (perché non ci sono
``abbastanza'' integrali primi). Si potrebbe allora definire una
regione caotica come un insieme dello spazio delle fasi che
coincide con la chiusura di ogni sua orbita. Chiaramente però
occorre che questo insieme sia ``più grande'' di un toro invariante
del tipo presente nei sistemi integrabili. Per esempio si potrebbe
richiedere che la regione caotica riempia l'insieme di livello
definito dal solo integrale primo, cioè dalla hamiltoniana; oppure
che sia un sottoinsieme aperto dell'insieme di livello.
Per decidere se una definizione di questo tipo è applicabile nei casi più comuni e più interessanti, occorre procurarsi qualche esempio di sistema ``caotico''. Benché gli esempi non manchino, i metodi numerici necessari per mettere in evidenza il caos sono, nella maggior parte dei casi, complicati e di uso difficile. Nella prossima sottosezione svilupperemo quindi un metodo per procurarsi esempi molto semplici da calcolare.
Sia 
una ipersuperficie regolare dello spazio delle fasi
(P,Q),
cioè un sottoinsieme definito da una sola equazione G(P,Q)=0 con
G di classe 
e con 
in ogni punto di
. Supponiamo che 
sia un punto di per il
quale passa trasversalmente la soluzione del sistema
hamiltoniano definito da H(P,Q), cioè
allora la ipersuperficie resterà trasversale al sistema
dinamico per tutti i punti di un intorno di in ;
si dice che è una
sezione locale
(questa definizione è analoga a quella di sezione locale
per un sistema dinamico piano).
Allora la soluzione con condizione iniziale lascia
per t>0 (anche per t<0). Supponiamo che dopo un certo
tempo 
la soluzione torni ad incontrare in
: si intende che questo sia il ``primo ritorno'', cioè
per 
la soluzione non incontra .
Supponiamo che anche questo secondo incontro sia trasversale, cioè
anche in si abbia 
. Per il teorema di
continuità del flusso , tutte
le soluzioni con condizione iniziale (P,Q) che stanno su 
, con W un intorno abbastanza piccolo di ,
incontreranno di nuovo in un punto (P',Q').
L'applicazione così definita è la
mappa di Poincaré
Figure 9.2: Mappa di Poincaré: data una ipersuperficie
che rappresenta una sezione locale, si manda ogni punto nel punto di
primo ritorno sull'ipersuperficie dell'orbita corrispondente.
Per il teorema di
differenziabilità del flusso , la mappa di Poincaré è un
diffeomorfismo tra due intorni di su . Si
noti che la mappa di Poincarè conserva il valore della hamiltoniana.
Un caso semplice della mappa di Poincaré si ottiene quando
le variabili Q sono variabili angolo: se consideriamo 
come ipersuperficie , e per esempio sappiamo che 
in ogni punto, allora
è trasversale al sistema dinamico in ogni punto, e
il primo ritorno è semplicemente il punto su ogni orbita in
cui 
. Studiamo il caso con due gradi di libertà
per semplicità di notazione (la generalizzazione ad n
gradi di libertà è comunque ovvia): poiché la
hamiltoniana è conservata,
e da questa equazione si possono ricavare sia 
che 
,
per il teorema delle funzioni implicite (dal momento che
). Perciò, fissato il valore
H=E della hamiltoniana, si può definire una
mappa di Poincaré ridotta
in cui il punto di primo ritorno appartiene all'orbita
che ha condizione iniziale con 
e 
assegnati su
. In questo caso vale una proprietà molto forte:
Teorema dei conseguenti : La mappa di Poincaré ridotta è una trasformazione canonica .
Dimostrazione:
da 
con il teorema della
funzione implicita, si ottiene la funzione delle altre
variabili 
, le cui derivate parziali sono
Definiamo allora l'hamiltoniana K come
con variabile indipendente 
(in luogo del tempo)
e parametro E, per definire le equazioni di
Hamilton
esse sono equivalenti a quelle originali, nel senso che la stessa
orbita è parametrizzata da anziché da t.
Le nuove equazioni di Hamilton sono state ottenute ``eliminando il tempo'' nelle equazioni originali.
Perciò la mappa di Poincaré ridotta si può considerare
come il flusso integrale da s=0 ad 
del sistema
hamiltoniano con hamiltoniana K. Per il teorema del
flusso canonico la mappa di Poincaré è quindi
canonica.
Nel caso a due gradi di libertà, è una
superficie e, per riferirsi al teorema precedente, supponiamo che
siano le sue coordinate: una
trasformazione canonica
conserva l'area . Quindi la mappa di Poincaré ridotta
definisce un sistema dinamico discreto conservativo , definito
in un sottoinsieme del piano .
Se il sistema hamiltoniano di partenza fosse integrabile, allora vi sarebbe un altro integrale primo Z(P,Q), funzionalmente indipendente da H(P,Q), e la mappa di Poincaré dovrebbe conservare anche questo; quindi la mappa di Poincaré ridotta avrebbe un integrale primo , le cui curve di livello sarebbero invarianti, cioè unione di orbite. Se il sistema non è integrabile, le orbite della mappa di Poincaré ridotta occupano insiemi del piano ``più grandi'' di curve.
Da questa relazione tra sistemi hamiltoniani a due gradi di libertà e sistemi dinamici conservativi nel piano segue che è possibile riconoscere il caos con un metodo grafico. Basta seguire un'orbita della mappa di Poincaré ridotta, ed osservare come si dispone nel piano.
La mappa di Poincaré ridotta introduce una relazione tra sistemi dinamici conservativi nel piano, e sistemi hamiltoniani a due gradi di libertà; possiamo utilizzare gli esempi dei primi come modello per i comportamenti - integrabili o caotici - dei secondi. Perciò possiamo usare una mappa standard come esempio; nel seguito useremo ancora quella già studiata nel Capitolo 4, la mappa standard del pendolo .
Figure 9.3: Particolare della mappa standard del pendolo
per il valore h=0.5: la maggior parte delle orbite sembra appartenere
a curve invarianti; tuttavia non c'è alcun aperto dello spazio delle
fasi in cui manchi il caos, con esponenti di Lyapounov positivi. Le
orbite caotiche sembrano``riempire'' sottili corone circolari comprese
tra due curve invarianti; per una visione d'insieme, si veda la Figura
4.4.
Osserviamo con un opportuno ingrandimento il risultato degli esperimenti numerici che calcolano, per diversi valori del parametro h, un lungo tratto (migliaia di punti) di alcune orbite della mappa standard del pendolo: si nota che nel fascio di curve invarianti - che dominano per valori piccoli di h - si formano delle isole di risonanza che generano nuove regioni caotiche, a partire dalle separatrici di orbite periodiche con esponenti di Lyapounov positivi e negativi.
La conclusione, molto provvisoria ed empirica, di questo esperimento, è che anche una definizione di caos basata sulla transitività topologica non è del tutto adeguata, specialmente per i sistemi hamiltoniani (e per i sistemi discreti conservativi). Al contrario, le orbite caotiche riempiono la parte dello spazio delle fasi lasciata libera da un gran numero di curve invarianti (corrispondenti ai tori invarianti nel caso hamiltoniano).
Semplici esperimenti numerici come questo, compiuti con i primi calcolatori elettronici all'inizio degli anni '50, hanno stimolato gli sviluppi di una nuova teoria dei sistemi dinamici hamiltoniani non integrabili, ma aventi orbite sia caotiche sia regolari: si veda [Arnold 86], Appendice 8.
Figure 9.4: Particolare della mappa standard del pendolo
per il valore h=1: la maggior parte delle curve invarianti
è scomparsa, ma restano quelle che hanno
ampiezze di oscillazione piccole attorno al punto di equilibrio
stabile. Nemmeno in questo caso c'è transitività topologica; per
una veduta d'insieme, si veda la Figura 4.6.
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