9.1 ESPONENTI DI LYAPOUNOV

 

Sommario Gli esponenti di Lyapounov misurano il ritmo esponenziale di divergenza di orbite con condizioni iniziali vicine, generalizzando la definizione data nel caso dei punti di equilibrio. Nei sistemi hamiltoniani integrabili gli esponenti di Lyapounov sono zero. Se ci sono esponenti di Lyapounov positivi, anche le integrazioni numeriche accumulano l'errore di discretizzazione in modo esponenziale, e non possono essere impiegate per predire in modo affidabile l'evoluzione a lungo termine delle orbite.

Definizione generale

Per ogni orbita di un sistema dinamico che risolve il problema alle condizioni iniziali

l'equazione alle variazioni  è un'equazione differenziale lineare dipendente dal tempo, la cui soluzione è la matrice jacobiana del flusso integrale (che esiste per il teorema di differenziabilità del flusso :

La matrice , soluzione di tale problema alle condizioni iniziali qua sopra, è anche la matrice associata al flusso integrale (lineare) dell'equazione alle variazioni, nel senso che la soluzione del problema alle condizioni iniziali

con può essere espressa come

È quindi naturale chiedersi quale sarà il comportamento delle soluzioni V(t) per ; se interpretiamo l'equazione alle variazioni come l'equazione del moto relativo linearizzata (vedi Sezione 8.6), la soluzione V(t) descrive (al primo ordine in |V(t)| )come la soluzione con condizione iniziale si allontana nel tempo da quella di riferimento (con condizione iniziale ).

Definizione:

Si chiamano esponenti di Lyapounov   di un sistema dinamico tutti i numeri reali ottenuti da un limite del tipo:



dove V(t) è la soluzione (con condizione iniziale ) dell'equazione alle variazioni (relativa all'orbita con condizione iniziale ) associata al sistema dinamico.

Per la linearità dell'equazione alle variazioni, gli esponenti di Lyapounov dipendono in effetti solamente dalla direzione di . Poiché inoltre si ottengono gli stessi esponenti in corrispondenza di condizioni iniziali in punti e appartenenti alla stessa traiettoria, si può parlare degli esponenti di Lyapounov di un'orbita.

Esempio:

Supponiamo che , per cui è un'orbita corrispondente ad un punto di equilibrio. Allora l'equazione alle variazioni



coincide con il sistema linearizzato, ed ha flusso integrale



In questo caso gli autovalori di sono , dove sono gli autovalori di B. Se è un autovettore di B con autovalore reale si trova



Per mezzo della forma canonica reale, si verifica che se sta nella parte reale degli autospazi di una coppia di autovalori complessi coniugati si ottiene . In generale, un vettore iniziale sarà combinazione lineare di autovettori e autovettori generalizzati, quindi in sarà dominante il contributo dell'autovalore con parte reale massima.

In conclusione, gli esponenti di Lyapounov dell'orbita sono tutte e sole le parti reali degli autovalori di B, cioè coincidono con gli esponenti di Lyapounov  definiti nel caso particolare di un punto di equilibrio.

Problema Supponiamo che X(t) sia un'orbita periodica  di periodo P. Allora la matrice di monodromia  contiene tutte le informazioni sugli esponenti di Lyapounov: mostrare che, se sono gli autovalori di L, allora gli esponenti di Lyapounov dell'orbita X(t) sono .

Esempio:

Supponiamo che la matrice soluzione fondamentale dell'equazione alle variazioni abbia un autovalore il cui autospazio contenga per ogni t. Allora



ed un eventuale esponente di Lyapounov misura la crescenza esponenziale dell'autovalore.

Benché questi esempi siano importanti, la definizione di esponente di Lyapounov è più generale e vale per orbite qualsiasi, anche in corrispondenza di comportamenti molti complicati degli autospazi di A(t). Non è detto che per ogni condizione iniziale esistano degli esponenti di Lyapounov. Prima di tutto occorre che appartenga ad un'orbita , altrimenti il limite per non avrebbe senso; ma anche per le orbite può accadere che i limiti che definiscono gli esponenti non siano convergenti.

Caso integrabile

Consideriamo un sistema dinamico conservativo, per esempio sotto forma di equazioni di Hamilton :

L'equazione alle variazioni ha in questo caso la forma particolare

dove la matrice hessiana della funzione di Hamilton è calcolata lungo la soluzione di riferimento. Per il teorema del flusso canonico , la soluzione è una matrice simplettica  per ogni t, quindi (per il teorema di Liouville ) ammette sempre coppie di autovalori del tipo .

Esempio:

Nel caso di un punto di equilibrio di un sistema hamiltoniano, si possono sfruttare le proprietà dei sistemi linearizzati di sistemi hamiltoniani  per mostrare che gli autovalori della matrice dei coefficienti formano coppie del tipo , e che perciò gli esponenti di Lyapounov formano coppie del tipo .

Si può dimostrare che la proprietà descritta in questo esempio, cioè di avere per ogni esponente di Lyapounov positivo anche il corrispondente negativo (e viceversa), vale per ogni orbita di un sistema hamiltoniano. Perciò ci sono soltanto due casi: o gli esponenti di Lyapounov sono tutti nulli, oppure ce ne sono sia di positivi che di negativi. Nel secondo caso esiste almeno una direzione tale che un piccolo cambiamento nelle condizioni iniziali porta ad una crescita esponenziale della distanza tra le due orbite, cioè ad una dipendenza critica dalla condizione iniziale  .

Teorema del moto ordinato :  Se un sistema dinamico hamiltoniano è integrabile , allora non c'è dipendenza critica dalla condizione iniziale, nel senso che tutti gli esponenti di Lyapounov sono zero.

In effetti dimostreremo che per ogni condizione iniziale e per ogni vettore variazione iniziale esiste ed è sempre zero il limite che definisce l'esponente di Lyapounov.

Dimostrazione:

Se il sistema è integrabile, ogni orbita appartiene ad una varietà invariante, definita ponendo gli integrali primi uguali a delle costanti. Per il teorema di Arnold-Jost, la varietà invariante è in effetti un toro  n-dimensionale , parametrizzato da n variabili angolo  , e la dinamica sul toro è un flusso di Kronecker 



Inoltre esistono variabili azione-angolo  (che includono, oltre agli angoli citati sopra, le variabili azione ) tali che le sono integrali primi, e le frequenze proprie  sono funzioni delle sole I:

In queste condizioni, prendiamo una condizione iniziale ed un vettore variazione iniziale : a questi corrisponde nelle coordinate una condizione iniziale ed un vettore variazione .

Il vettore variazione   è un vettore tangente, per la cui trasformazione da un sistema di coordinate ad un altro si deve usare il differenziale in modo controvariante .

Calcoliamo la differenza tra due orbite, quella per e quella per :



Da questa formula esplicita si vede che la distanza tra le orbite cresce solo linearmente nel tempo (e solo nelle direzioni lungo il toro), perciò tende a zero. Questo calcolo è stato eseguito usando le differenze tra le orbite, anziché i vettori variazione (e quindi l'equazione linearizzata); ma poiché il flusso integrale in questo caso è lineare, è esattamente lo stesso.

Si tratta ora di mostrare che gli esponenti di Lyapounov di una data orbita non dipendono dal sistema di coordinate usato, ovvero che anche nelle variabili (P,Q) sarebbero gli stessi che nelle variabili .

Ciascun toro è compatto , perciò se si esegue un cambiamento di coordinate che sia un diffeomorfismo su tale compatto, la sua matrice jacobiana C avrà un massimo k della norma uniforme  ||C||. Applichiamo questo criterio al cambiamento di coordinate dalle variabili azione-angolo alle (P,Q): allora la lunghezza del vettore variazione nelle coordinate (P,Q) sarà maggiorata da , e tende a zero.

 C.D.D.

In effetti gli esponenti di Lyapounov non dipendono affatto dal sistema di coordinate usato, almeno finché il problema è circoscritto ad un insieme compatto.

Esponenti di Lyapounov e integrazione numerica

Se il sistema dinamico non è integrabile, per calcolare le soluzioni si può ricorrere a qualche forma di approssimazione: per esempio all'integrazione numerica, usando uno dei molti metodi disponibili (tra cui quelli discussi nella Sezione 4.4). Il problema è che l'errore di troncamento accumulato  cresce con il tempo, fino a rendere l'approssimazione discreta completamente differente dalla soluzione del sistema dinamico continuo.

Nel caso più semplice del metodo di Eulero , il teorema della convergenza del metodo di Eulero  fornisce una stima dell'errore accumulato che presenta una crescita esponenziale con il tempo, con esponente dipendente dalla costante di Lipschitz  del secondo membro.

Per altri metodi di integrazione più accurati, il termine costante che moltiplica l'esponenziale potrà essere molto più piccolo, ma rimane la divergenza dell'andamento esponenziale nel tempo della stima.

Una giustificazione per questo cattivo comportamento delle approssimazioni numeriche può essere trovata nel teorema della continuità del flusso  (che a sua volta discende dalla diseguaglianza di Gronwall ), per il quale la crescita della distanza tra due orbite con condizioni iniziali diverse è sempre stimata da un'esponenziale nel tempo, con esponente contenente la costante di Lipschitz. In effetti il teorema di continuità fornisce una maggiorazione degli esponenti di Lyapounov. Di conseguenza, che nessun metodo di integrazione numerica può evitare di accumulare l'errore in modo esponenziale, quando viene applicato ad un sistema dinamico con esponenti di Lyapounov positivi: supponiamo, come caso limite, che il metodo di discretizzazione commetta un errore di modulo molto piccolo al primo passo; se anche nei passi successivi l'errore di troncamento locale  fosse nullo, sarebbe sufficiente seguire una nuova orbita con condizioni iniziali differenti di dalle precedenti, per ottenere una differenza accumulata crescente come , dove è un esponente di Lyapounov positivo.

Possiamo concludere che un'integrazione numerica dovrebbe sempre essere accompagnata da una stima degli esponenti di Lyapounov. Se alcuni di questi risultano positivi, l'integrazione numerica non potrà in nessun caso essere attendibile dopo un tempo di propagazione pari a molte volte il tempo di Lyapounov   , dove è il massimo degli esponenti di Lyapounov (si noti che la dimensione degli esponenti di Lyapounov è ). Per esempio, dopo un tempo , l'effetto di ogni piccolo errore nelle condizioni iniziali, e l'errore di troncamento accumulato, crescono di un fattore . Perciò occorre stimare almeno il massimo degli esponenti di Lyapounov.

 
Figure 9.1:  Andamento della lunghezza di un vettore variazione, soluzione dell'equazione alle variazioni con condizione iniziale scelta a caso, per l'asteroide (522) Helga; da un'integrazione numerica, con un metodo di ordine molto elevato, dell'equazione del problema dei 6 corpi (Sole, 4 pianeti, asteroide). Il tempo di Lyapounov, in cui due orbite divergono di un fattore exp(1), è circa 7000 anni.

In linea di principio, non è possibile calcolare esattamente il valore del massimo esponente di Lyapounov per un'orbita di un sistema non integrabile , perché la definizione richiede di calcolare un limite per . Il metodo più semplice per ottenere una stima temporanea del valore del massimo esponente di Lyapounov è il seguente: si sceglie un qualunque vettore variazione iniziale , (si può supporre ), e si calcola la soluzione dell'equazione alle variazioni con condizione iniziale , usando lo stesso metodo di integrazione numerica usato per le equazioni di moto. Quindi si studia l'andamento della funzione ; se esso indica un asintoto, la pendenza dell'asintoto indica un valore stimato del massimo esponente di Lyapounov.

Se viene individuato un esponente di Lyapounov positivo, non ha senso utilizzare le specifiche predizioni contenute nella soluzione calcolata per tempi molto più lunghi di qualche decina di tempi di Lyapounov; non si conosce alcun metodo per formulare una predizione attendibile, se non in senso statistico. Se al contrario la curva ha una pendenza che tende a zero, ha senso continuare l'integrazione numerica, e le predizioni che essa fornisce sono utilizzabili in senso deterministico.

Come esempio di questa procedura, mostriamo nella Figura 9.1 il caso di un asteroide, la cui orbita mostra dipendenza critica dalle condizioni iniziali con un esponente di Lyapounov relativamente grande (rispetto alle scale di tempo in gioco) [Milani-Nobili 92].