7.2 ASTRODINAMICA

 

Sommario In molti casi, una missione spaziale può essere descritta con buona approssimazione come problema dei due corpi, dal quale perciò si possono dedurre le leggi fondamentali dell'astronautica. Per i tipi più semplici e importanti di missioni presentiamo, per lo più sotto forma di problemi proposti, il calcolo approssimato delle orbite, delle condizioni di lancio e delle manovre con razzi.

Satelliti artificiali

Supponiamo di studiare l'orbita di un veicolo spaziale nel campo gravitazionale di un pianeta, per esempio la Terra, di massa e di raggio . La principale ipotesi semplificatrice è che l'energia potenziale gravitazionale del pianeta sia funzione solo della distanza r dal centro di massa del pianeta, ed esattamente

La legittimità di questa approssimazione deriva dal teorema di Newton, per cui un corpo con simmetria sferica   (nel senso che la densità dipende solo da r) genera al di fuori del corpo stesso un campo gravitazionale identico a quello generato da un corpo puntiforme della stessa massa posto nel suo centro. Questo teorema è conseguenza diretta della formula di Gauss , che applicata al campo gravitazionale (solenoidale  fuori dai corpi) fornisce la formula che serve a determinare la massa M di un pianeta: se S è una superficie chiusa che racchiude all'interno il pianeta (con versore normale esterno N) e F è il suo campo gravitazionale,

Se il pianeta ha simmetria sferica, allora il campo di forze è centrale; quando S è la sfera r=cost si ha

ed eguagliando le due espressioni

Perciò l'approssimazione che useremo consiste nel supporre un pianeta non puntiforme, ma con perfetta simmetria sferica.

Definizione:

Supponendo di partire dalla superficie del pianeta, cioè con , la prima velocità cosmica   è la minima velocità di un'orbita posta appena sopra la superficie del pianeta, cioè la velocità di un'orbita circolare con semiasse . Per la terza legge di Keplero 



Poiché in questa definizione si trascura sia la topografia del pianeta che l'eventuale atmosfera, la prima velocità cosmica non ha alcun significato realistico nel progetto del lancio di un satellite artificiale, come si vedrà nel problema successivo.

La seconda velocità cosmica  , detta anche velocità di fuga   , è la minima velocità da imprimere ad un veicolo spaziale che parte da per sfuggire al campo gravitazionale del pianeta (ovvero per porsi su un'orbita illimitata, con energia E=0). Per la formula dell'energia:



La velocità di fuga non dipende dalla direzione di lancio, che può avvenire in qualsiasi direzione sopra al piano tangente, ed è maggiore di un fattore della prima velocità cosmica. Perciò i satelliti artificiali richiedono velocità di lancio che stanno in un intervallo relativamente ristretto.

Problema Cerchiamo di calcolare le velocità richieste per una procedura di lancio di un satellite artificiale   che sia abbastanza realistica. Si vuole ottenere un'orbita circolare ad un altezza h rispetto alla superficie del pianeta . Procediamo per passi:

(I)

Calcoliamo la velocità di un lancio che metta il veicolo spaziale in un'orbita ellittica, con perigeo   (cioè il pericentro, quando il fuoco è la Terra) ad ed apogeo   (cioè l'apocentro) ad .

(II)

Circolarizziamo l'orbita: calcoliamo l'incremento della velocità all'apogeo necessario per passare ad un'orbita circolare con . In questo caso la direzione è ovvia, in quanto l'incremento di velocità deve essere parallelo alla velocità stessa all'apogeo (elevazione ù nulla). Calcoliamo il periodo di tale orbita circolare.

(III)

Confrontiamo l'incremento di velocità totale necessario per questa missione, e confrontiamolo con la prima velocità cosmica.

(IV)

Tenendo conto della rotazione del pianeta con velocità angolare , calcoliamo quale risparmio nel totale è possibile se si lancia dall'equatore ``verso est'', cioè sfruttando la velocità di rotazione della piattaforma di lancio.

(Soluzione)

Resta da spiegare perché si è scelto, nel problema precedente, un lancio in cui è nulla l'elevazione   (angolo rispetto all'orizzonte, cioè al piano tangente), in modo da avere il perigeo alla superficie del pianeta . Un lancio con elevazione positiva immetterebbe il veicolo spaziale su un'orbita di trasferimento con perigeo più basso di e quindi con minore energia; però aumenterebbe l'energia richiesta dalla manovra di circolarizzazione dell'orbita. Si tratta di vedere quale è la scelta ottimale, che minimizza l'incremento di velocità totale .

Teorema di Hohmann :  Sia data una piattaforma di lancio in moto circolare uniforme, con velocità angolare , a distanza R dal centro di un pianeta con simmetria sferica di massa M; supponiamo inoltre che . Per lanciare un satellite del pianeta in un'orbita circolare di raggio R+h (h>0) con due cambiamenti di velocità impulsivi (istantanei), l'orbita di trasferimento che minimizza l'incremento di velocità totale è quella che ha pericentro in r=R, apocentro in r=R+h, piano orbitale coincidente con quello del moto della piattaforma e verso concorde.

Questo teorema è la generalizzazione di un risultato pubblicato da un pioniere dell'astronautica, W. Hohmann, nel 1925. L'orbita ellittica tangente alle due circonferenze, come descritto dal teorema, si chiama orbita di trasferimento di Hohmann  .

Il teorema di Hohmann si può usare in due casi. Nel primo, la piattaforma di lancio può essere sull'equatore del pianeta che ruota con velocità angolare , e quindi il teorema di Hohmann tiene conto anche del contributo dato dalla rotazione del pianeta; in questo caso , altrimenti il veicolo spaziale non sarebbe attaccato al suolo prima del lancio (ed il pianeta non potrebbe restare in un solo pezzo). Nel secondo caso la ``piattaforma di lancio'' può essere il veicolo spaziale stesso, già in un'orbita circolare di raggio R e moto medio : quindi , e il teorema descrive l'orbita di trasferimento ottimale tra due orbite circolari concentriche e coplanari.

Dimostrazione:

Siano la velocità della piattaforma di lancio e il suo modulo, con modulo la velocità d'arrivo all'altezza desiderata r=R+h, la velocità dell'orbita circolare finale con modulo , e infine la velocità di lancio con modulo . La quantità da minimizzare è la somma dei moduli dei due cambiamenti di velocità, cioè



 
Figure 7.5:  Dimostrazione del teorema di Hohmann: definizione delle velocità della piattaforma, di lancio, di arrivo all'altezza di destinazione, ed orbitale; angoli di elevazione al lancio ed all'altezza di destinazione.


Per semplificare questa espressione, disponiamo dei due integrali primi E,c che devono avere lo stesso valore immediatamente dopo il lancio ad r=R ed all'arrivo ad r=R+h. Usando l'energia, si ha



usando il momento angolare, se è l'elevazione ad r=R e è l'elevazione ad r=R+h, si ricava



Calcoliamo gli incrementi di velocità: al lancio



mentre all'arrivo ad r=R+h l'incremento di velocità si semplifica usando le formule ricavate dagli integrali primi:





In conclusione, se poniamo (x è la velocità di lancio riscalata), il rapporto fra l'incremento di velocità totale e la prima velocità cosmica è



funzione delle due variabili x e (elevazione al lancio). Si tratta di trovare il minimo di questa funzione di due variabili, tenendo conto del vincolo per cui l'orbita di trasferimento deve avere distanza all'apocentro perché l'immissione nell'orbita circolare di destinazione sia possibile. La derivata rispetto a ,



permette di osservare che il minimo rispetto a si verifica per qualunque sia . Quindi l'orbita di trasferimento deve avere il pericentro in r=R. Per trovare la velocità di lancio si può derivare rispetto ad x per :



Poiché x>1 (altrimenti l'orbita di trasferimento avrebbe l'apocentro in r=R e non arriverebbe mai ad r=R+h) la derivata parziale rispetto ad x è sempre positiva, quindi il minimo si ha per il minimo valore di che consenta di arrivare ad r=R+h: questo valore è calcolato nel Problema precedente.

Poiché tutti questi calcoli sono stati eseguiti supponendo che la traiettoria della piattaforma di lancio, l'orbita di trasferimento e l'orbita di destinazione appartengano allo stesso piano, resta da dimostrare che non c'è una traiettoria più efficiente fuori dal piano: ma le componenti fuori dal piano di e di aumentano il valore totale di , per cui la soluzione piana è la migliore.

 C.D.D.

In alcuni casi, per h/R grande, esistono delle strategie con incrementi di velocità distribuiti in tre impulsi (anziché due) che risultano in un totale minore di quello dell'orbita di Hohmann.

In pratica non è possibile lanciare con elevazione zero, sia perché il veicolo spaziale deve trovarsi al di sopra degli strati più densi dell'atmosfera prima di raggiungere velocità che darebbero luogo ad interazioni distruttive con il gas, sia per diminuire la perdita dovuta alla gravità durante la fase di accelerazione; perciò i lanci si effettuano verticalmente. Basta osservare attentamente la ripresa televisiva di un lancio per accorgersi che l'elevazione diminuisce rapidamente durante la fase di accelerazione, tanto che al momento del distacco del secondo stadio   la traiettoria è quasi orizzontale.

Problema Cerchiamo di calcolare la velocità e la direzione per un lancio interplanetario  . Se la velocità di lancio è è possibile sfuggire al campo gravitazionale del pianeta di partenza.

(I)

Calcolare la velocità di lancio necessaria perché il limite per (e anche per ) della velocità sia un valore assegnato .

(II)

Calcolare la direzione di fuga  , cioè il limite per dell'angolo polare nel piano orbitale, supponendo che il lancio avvenga con condizioni iniziali (elevazione nulla).

(III)

Calcolare come variano la velocità e la direzione di fuga al variare dell'elevazione del lancio, nelle due ipotesi che il pianeta non ruoti e che ruoti, con piattaforma di lancio all'equatore.

Suggerimento: Il limite per di E è semplicemente , da cui si deduce la formula

La direzione dell'asintoto si deduce da

Esercizio Calcolare gli elementi orbitali al lancio dalla superficie R=1 di un pianeta con GM=1, con le seguenti velocità ed elevazioni di lancio:

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

.

Orbite interplanetarie

I pianeti orbitano tutti attorno al Sole (di massa ); poiché la massa dei pianeti è molto più piccola di quella del Sole, le soluzioni del problema dei due corpi Sole-pianeta sono buone approssimazioni per le orbite dei pianeti. Le orbite risultano in effetti ellittiche, ma con eccentricità da piccola a moderata (soltanto per Mercurio e Plutone non è proprio possibile trascurare l'eccentricità). Nei problemi che seguono sarà descritta una prima approssimazione di una missione interplanetaria, per esempio dalla Terra a Marte e ritorno.

Per una presentazione suggestiva, anche se tecnologicamente datata, di una spedizione marziana si può consultare [Ley-von Braun 59]. Per una trattazione più ampia delle orbite interplanetarie, consultare [Roy 82].

Problema Supponiamo che il pianeta di partenza abbia semiasse maggiore ed eccentricità , mentre il pianeta di destinazione abbia semiasse ed eccentricità ; supponiamo per esempio .

(i)

Trovare l'orbita di trasferimento di Hohmann  che porta da fino a ; supponiamo cioè che l'incontro con il pianeta di destinazione avvenga al perielio   (pericentro) di quest'ultimo.

(II)

Calcolare l'incremento di velocità necessario per passare dall'orbita del primo pianeta a quella di Hohmann, e quello per immettersi nell'orbita del secondo pianeta dall'orbita di Hohmann.

(III)

Calcolare il tempo impiegato sull'orbita di trasferimento (pari a metà del periodo dell'orbita ellittica di Hohmann).

Problema Il lancio dal pianeta di partenza viene descritto mediante l'approssimazione a due corpi, con il pianeta supposto a simmetria sferica di raggio e di massa . L'orbita planetocentrica (iperbolica) e quella eliocentrica di Hohmann vengono raccordate in modo , come se si potesse passare istantaneamente da un problema dei due corpi ad un altro. Come ulteriore semplificazione si usa, per la velocità planetocentrica, quella asintotica sull'iperbole, pur supponendo che la posizione sia quella del pianeta. Nello stesso modo viene descritta la cattura dall'orbita di Hohmann, interpretata come orbita iperbolica nel sistema di riferimento che si muove con il secondo pianeta di raggio e massa .

Questa approssimazione è sensata, perché per distanze abbastanza piccole dai pianeti la loro attrazione è maggiore di quella del Sole. Però non è affatto facile stimare rigorosamente l'errore commesso in questa approssimazione ``kepleriana a tratti'', che tuttavia conduce a risultati praticamente utilizzabili in quasi tutti i casi.

(I)

Trovare la velocità di lancio e, supponendo l'elevazione , trovare l'angolo rispetto al Sole del punto di lancio per ottenere una velocità ``all'infinito'' con modulo e direzione lungo l'orbita del primo pianeta.

(II)

Trovare la velocità con cui la sonda interplanetaria arriverà alla superficie del pianeta di destinazione, supponendo che vi arrivi con elevazione nulla (cioè con pericentro ad , dove r è la distanza dal centro del secondo pianeta); trovare l'angolo rispetto al Sole del punto di atterraggio.

(III)

Supponendo di ripartire quando il secondo pianeta è ancora al perielio, trovare l'incremento di velocità totale per una missione di andata e ritorno come (se le velocità di arrivo devono essere frenate attivamente) e come (se le velocità di arrivo sono frenate passivamente).

Problema Semplifichiamo il problema assumendo , in modo che il risultato non dipenda dall'anomalia vera  del secondo pianeta. Vogliamo calcolare la durata totale di una missione interplanetaria di andata e ritorno tra i due pianeti.

(I)

Data la durata dell'orbita di trasferimento di Hohmann, quale deve essere l'angolo tra i due pianeti (visto dal Sole) al momento dell'iniezione sull'orbita di trasferimento?

(II)

Al tempo impiegato sulle due orbite di trasferimento va aggiunto il tempo di attesa perché il primo pianeta si trovi nuovamente nella posizione favorevole per l'orbita di Hohmann, calcolata al punto (I).

(III)

Quanto spesso si avrà una finestra di lancio  , cioè i due pianeti formeranno l'angolo giusto per l'inizio di una simile missione?

Suggerimento: La scala di tempi di questo tipo di missioni è dettata dal periodo sinodico  

che è l'intervallo di tempo dopo il quale l'angolo pianeta 1-Sole-pianeta 2 si ripete.

Problema Sia , e supponiamo ancora che l'incontro avvenga al perielio del secondo pianeta.

(I)

Data la durata dell'orbita di trasferimento di Hohmann, quale deve essere l'angolo tra i due pianeti (visto dal Sole) al momento dell'iniezione sull'orbita di trasferimento?

(II)

Se si presenta un'opportunità di lancio in cui vale la condizione del punto (I), dopo quanto tempo se ne presenterà un'altra?

Il problema precedente è assai più difficile di quello relativo ad orbite circolari, perché richiede di calcolare le effemeridi  , cioè la legge oraria: se al tempo il secondo pianeta si trova al perielio (cioè con ), quale sarà la sua posizione al tempo t? Questo calcolo può essere ridotto ad una quadratura , ma la corrispondente primitiva non è esprimibile mediante funzioni elementari. Perciò conviene far uso di una variabile intermedia: l'anomalia eccentrica.

 
Figure 7.6:  Definizione dell'anomalia eccentrica, in funzione dell'anomalia vera e dell'eccentricità.

L'anomalia eccentrica   si può interpretare geometricamente dopo aver trasformato l'ellisse della traiettoria in una circonferenza centrata nel punto medio dei due fuochi, per mezzo di una dilatazione di un fattore lungo l'asse minore; l'anomalia eccentrica (vedi Figura 7.6) è l'angolo visto dal centro della circonferenza fra la posizione ``dilatata'' ed il raggio del pericentro. Analiticamente, la relazione tra anomalia eccentrica u ed anomalia vera  f è definita attraverso l'espressione delle coordinate cartesiane, in un riferimento (x,y) avente l'asse x orientato lungo il vettore di Laplace-Lenz  e l'asse y nel piano orbitale, orientato in modo che l'angolo polare nel piano (x,y) sia crescente con il tempo:

La legge della traiettoria si può quindi esprimere come relazione tra il raggio r e una delle due anomalie:

L'equazione che lega l'anomalia eccentrica al tempo si può ricavare usando la derivata rispetto al tempo del raggio, espressa nei due modi

Sostituendo la legge delle aree , il termine si semplifica:

Confrontando le due espressioni, si ottiene

si può riconoscere nel primo fattore il moto medio  n, e ricavando il secondo fattore dalle due espressioni per y si ha l'equazione a variabili separabili

da cui si ricava l'inversa della legge oraria

Poiché il tempo corrisponde ad u=0, e quindi anche ad f=0, se definiamo una variabile angolo 

questa si identifica con l'anomalia media  che appare nella parametrizzazione del problema dei due corpi in variabili azione-angolo . Perciò la relazione tra l'anomalia eccentrica e l'anomalia media è l'equazione di Keplero  

 
Figure 7.7:  L'equazione di Keplero: risolvere rispetto all'anomalia eccentrica vuol dire trovare l'intersezione di una retta orizzontale (con anomalia media costante) con la curva che rappresenta il secondo membro. Il metodo di Newton usa le intersezioni della retta orizzontale con le tangenti alla curva come approssimazioni successive. Il punto corrispondente all'apocentro è l'unico punto di flesso (tra i valori principali); se usato come condizione iniziale evita qualsiasi cambio da convessità a concavità, quindi rende la convergenza certa.

L'equazione di Keplero fornisce immediatamente l'inversa della legge oraria: data l'anomalia vera, si calcola quella eccentrica con le formule per (x,y), e da questa l'anomalia media che fornisce il tempo al quale corrisponde la direzione data. Se però si vuole trovare la direzione f ad un tempo t dato, occorre calcolare la funzione inversa, cioè risolvere l'equazione di Keplero rispetto ad u. Questo non si può fare analiticamente (con funzioni elementari), ma esiste un procedimento numerico inventato da Newton appositamente per risolvere l'equazione di Keplero. Il metodo di Newton   consiste nel costruire una successione di approssimazioni successive a partire da una prima approssimazione , utilizzando la linearizzazione dell'equazione in ogni punto:

Se si trascurano i termini del secondo ordine,

allora si definisce la successione per ricorrenza mediante

e si ottiene una successione che, pur di scegliere opportunamente , converge molto rapidamente verso un limite che è la soluzione. La scelta di si può fare con vari metodi, ma la scelta più sicura è quella di porre ; per ragioni di convessità, evidenti dalla Figura 7.7, con questa scelta il metodo di Newton converge per ogni e<1 e per ogni con .

Problema Supponiamo di voler estendere l'esplorazione del sistema solare ai pianeti più lontani. A questo scopo si vuole iniettare il veicolo spaziale in un'orbita parabolica (o iperbolica) che consente di arrivare ad una qualunque distanza data. Sempre partendo da un'orbita con semiasse maggiore ed eccentricità , calcolare (in funzione della massa solare ) il minimo incremento di velocità necessario per sfuggire al campo gravitazionale del Sole.

(I)

Usare un unico cambiamento di velocità impulsivo , con la stessa direzione della velocità (generalizzazione dell'orbita di trasferimento di Hohmann  per ).

(II)

Usare per immettersi nell'orbita di Hohmann che consente di incrociare un altro pianeta con semiasse , eccentricità , massa e raggio ; quindi utilizzare l'assistenza gravitazionale   del pianeta per ottenere (nell'approssimazione kepleriana a tratti) un incremento di velocità sufficiente ad entrare in un'orbita illimitata. In questo modo il consumo di propellente corrisponde solo a , e d è quindi minore di quello del caso (I).

Suggerimento: Il massimo incremento di velocità ricevuto passando vicino ad un pianeta si ottiene supponendo che il pericentro dell'orbita iperbolica planetocentrica abbia raggio , e calcolando il cambiamento di velocità fra l'asintoto in entrata e quello in uscita. Per calcolare il cambiamento nel modulo della velocità, assumere che gli asintoti dell'orbita iperbolica planetocentrica abbiano per bisettrice la tangente all'orbita di .

Costanti ed unità di misura

Per essere in grado di riconoscere grandezze dotate di senso fisico e ingegneristico nelle formule dell'astrodinamica, come quelle ricavate dai problemi di questa Sezione, occorre definire le unità di misura impiegate. Ci sono fondamentalmente due scelte possibili: si può usare il sistema metrico decimale, magari con unità chilometri e secondi; oppure si possono usare unità di tempo legate alle grandezze in gioco, come l'unità astronomica e l'anno, oppure il raggio della Terra e il giorno.

In astrodinamica si misurano essenzialmente soltanto lunghezze e tempi, nella descrizione delle orbite e delle manovre; la misure di masse intervengono solo nella descrizione del veicolo spaziale e delle sue parti, e per questo scopo si impiegano unità di uso comune come il chilogrammo-massa. Infatti nelle equazioni di moto di un corpo di massa trascurabile (rispetto ai corpi attrattori) non appare mai una massa M se non accompagnata dal fattore G, la costante di gravitazione universale  . Il prodotto GM ha la dimensione di una lunghezza al cubo divisa per un tempo al quadrato: in simboli,

perciò il valore di GM non dipende dalla scelta dell'unità di massa. Per esempio per la Terra un valore, misurato recentemente dalle orbite dei satelliti artificiali, è

Per dedurre da questo valore di la massa della Terra espressa in unità metriche decimali, occorre conoscere il valore ``di laboratorio'' della costante di gravitazione universale  in unità metriche. Poiché l'interazione gravitazionale è molto debole tra corpi che un comune laboratorio possa contenere, la misura di G è molto difficile: la migliore stima basata su esperimenti anche recenti è

Perciò una scelta valida per lo studio di satelliti artificiali è l'uso di chilometri e secondi come unità, usando un valore di come quello citato sopra. Una recente misura del raggio equatoriale della Terra è

Esercizio Calcolare la prima velocità cosmica  e la velocità di fuga  per la Terra in Km/s.

La scelta opposta può essere conveniente per lo studio delle traiettorie interplanetarie. Per le lunghezze si definisce l'unità astronomica   (simbolo AU) come il semiasse maggiore dell'orbita di un pianeta che abbia periodo di un anno (più precisamente, un anno convenzionale di 365.25 giorni di 86400 secondi), nell'ipotesi che la costante abbia il valore convenzionale

dove la costante k è detta costante di Gauss  . Come l'unità di misura dei tempi, si sceglie il giorno d ``delle effemeridi'', esattamente pari ad 86400 secondi.

La costante k fu determinata appunto da Gauss con i migliori dati disponibili alla sua epoca, in modo che l'unità astronomica corrispondesse al semiasse maggiore della Terra; una volta fissata questa convenzione sull'unità di misura, il semiasse maggiore della Terra è una quantità da misurare, e la migliore stima attuale è

È chiaro però che, se si usano due diversi sistemi di unità di misura, bisogna disporre di un procedimento per trasformare tutti i risultati dei nostri calcoli da un sistema all'altro. Per esempio, il lancio di una missione interplanetaria può essere calcolato in unità (Km, s) e l'orbita di trasferimento interplanetaria calcolata in (AU, d), e allora la velocità di uscita dal campo gravitazionale della Terra deve essere riscalata.

Un cambiamento di scala   è una trasformazione in cui tutte le variabili, e le loro funzioni, sono moltiplicati per fattori di scala (numeri reali positivi) dipendenti dalle loro dimensioni. Per esempio, se le lunghezze sono moltiplicate per , i tempi per , le masse per , allora le velocità vanno moltiplicate per , e la costante di gravitazione universale G va moltiplicata per

che altro non è che la terza legge di Keplero  (i cubi delle dimensioni lineari delle orbite sono proporzionali ai quadrati dei periodi).

Anche se una mappa di uno spazio in se stesso può essere interpretata sia come trasformazione dei punti dello spazio, sia come un cambiamento di coordinate che descrive gli stessi punti in coordinate diverse, un cambiamento di scala viene comunemente interpretato come la descrizione delle stesse grandezze con unità di misura diverse, non come un cambiamento effettivo.

Per passare dal sistema (AU, d) al sistema (Km,s) basta dunque sapere che un giorno delle effemeridi è esattamente 86400 secondi (quindi ) e che è il valore in chilometri di una AU: una stima recente è

Esercizio Calcolare , che vale in unità (AU,d), nelle unità (Km,s); dal valore di G in quest'ultimo sistema, dedurre la massa del Sole in grammi.

In calcoli semplificati, del tipo usato per una prima approssimazione nel progetto di missioni spaziali, si possono anche usare come unità l'AU e l'anno y, ed approssimare la costante con : allora la terza legge di Keplero 

fornisce un periodo 1 anno per un'orbita di raggio 1 AU.

Questa ultima formula contiene l'approssimazione per cui si trascura la massa del pianeta, anziché usare il problema dei due corpi Sole-pianeta. L'errore è dell'ordine di una parte su 1000 o meno, secondo il pianeta.

Esercizio Calcolare la velocità orbitale della Terra , supponendo , in Km/s. Calcolare la velocità di fuga dal sistema solare partendo dall'orbita terrestre.

Suggerimento: Limitarsi all'approssimazione ed usare le unità (AU,y), quindi riscalare.

Esercizio Calcolare la terza velocità cosmica   sufficiente per far uscire dal sistema solare una sonda lanciata dalla superficie della Terra, usando l'approssimazione kepleriana a tratti, in km/s.

Suggerimento: Imporre che la velocità asintotica all'uscita dal campo gravitazionale terrestre sia pari a .

Problema Ricalcolare la terza velocità cosmica  nel caso che il lancio sfrutti l'assistenza gravitazionale  di Giove, verificando che quest'ultima sia sufficiente a trasferire dall'orbita di Hohmann per Giove ad un'orbita iperbolica. Si usino i dati approssimati .

Razzi e missili

Gli incrementi di velocità che un lancio spaziale o una manovra richiedono per il cambiamento di un'orbita, risultano dall'uso di un sistema di propulsione. Si conoscono soltanto due tipi di sistemi di propulsione che funzionano nello spazio (esterno all'atmosfera): il razzo e la vela solare . Poiché il secondo non è ancora praticamente in uso, ci limitiamo a discutere i razzi, mostrando soltanto come ricondurre il calcolo dell'efficacia di un razzo alle leggi della meccanica fin qui studiata

Supponiamo che un veicolo spaziale in moto libero (non soggetto ad alcuna forza esterna) abbia una massa dipendente dal tempo m(t), con valore iniziale , e supponiamo che la massa perduta sia interamente impiegata come massa di scarico di un razzo, che viene espulsa ad una velocità V relativamente al veicolo, in direzione opposta a quella della traiettoria della massa restante. Supponendo che il moto sia unidimensionale e che il razzo sia puntato sempre nella stessa direzione, dalla conservazione della quantità di moto si deduce l'equazione del razzo  : se x(t) è la coordinata del veicolo spaziale e v(t)=dx/dt(t) la velocità,

Se supponiamo di conoscere il funzionamento del razzo, cioè la velocità di scarico V e la funzione m(t), allora la velocità può essere calcolata con una semplice quadratura a partire dalla condizione iniziale :

Perciò se il rapporto di massa   è , cioè la massa disponibile come propellente è con , al termine della fase propulsiva la massa finale viaggerà con la velocità

Senza entrare in complicati problemi tecnici, è chiaro che il rapporto di massa è limitato dalla presenza, nella massa finale, del sistema propulsivo stesso. Perciò valori di molto grandi si ottengono in pratica soltanto in un sistema a più stadi, in cui la massa finale comprende un secondo stadio   con un sistema propulsivo più piccolo, che può a sua volta incrementare la velocità di riducendo la massa del veicolo a , e così via.

Per avere un'idea delle grandezze in gioco, si tenga presente che il valore della velocità di scarico V dipende dalla tecnologia impiegata: per motori recenti oscilla tipicamente da circa per razzi chimici fino a per propulsori elettrici a ioni. Così un razzo chimico ad un solo stadio con rapporto di massa può raggiungere circa , con un secondo stadio può raggiungere la seconda velocità cosmica, con tre stadi può raggiungere la terza velocità cosmica, con un rapporto di massa finale . Questo valore teorico è naturalmente ottimistico, perché non abbiamo tenuto conto delle perdite dovute alla gravità (cioè al fatto che mentre il razzo sta accelerando verso l'alto sta anche perdendo velocità per effetto dell'accelerazione di gravità g), né abbiamo tenuto conto dell'atmosfera che influisce anche sulla velocità di scarico, eccetera. Tuttavia, i semplici calcoli basati sulla sola equazione del razzo e sulle approssimazioni kepleriane - o kepleriane a tratti- sono sufficienti a dare un'idea degli ordini di grandezza che compaiono nella progettazione di missioni spaziali.

Per illustrare l'applicazione delle leggi della meccanica a problemi di una certa importanza pratica, nei problemi che seguono si studierà il comportamento dei missili balistici  , che compiono una traiettoria controllata sostanzialmente solo dalla gravità dopo il lancio. Si suppone di usare l'approssimazione del problema dei due corpi, con la Terra a simmetria sferica, e si considera il lancio istantaneo.

Problema Calcolare la velocità di lancio (in Km/s) e l'elevazione necessarie per il lancio di un missile intercontinentale   che parta da e ritorni a cadere sulla superficie ad una distanza angolare   (l'angolo fra le due posizioni visto dal centro della Terra) pari a .

Suggerimento: L'orbita ellittica deve essere percorsa per valori dell'anomalia vera tra e . Dall'equazione del raggio in funzione dell'anomalia vera dedurre una relazione tra a ed e, quindi minimizzare attraverso la relazione con a dedotta dalla formula dell'energia.

Si noti che il valore della velocità di lancio richiesta non è molto inferiore alla prima velocità cosmica .

Problema Calcolare il tempo necessario per il percorso descritto nel problema precedente.

Suggerimento: L'orbita ellittica calcolata nel problema precedente deve essere percorsa da al ritorno ad . Calcolare i valori corrispondenti dell'anomalia media, ed usare l'equazione di Keplero  per trovare l'anomalia media e quindi il tempo.

Il tempo di volo calcolato nel problema precedente dà un'idea della scala di tempi di una guerra nucleare globale, la cui durata difficilmente potrebbe eccedere .

Problema Supponiamo che siano disponibili razzi con velocità di scarico .

(I)

Calcolare la massa iniziale di un missile balistico intercontinentale capace di lanciare ad una distanza angolare  sulla superficie della terra un carico di .

(II)

Supponendo che la massa finale del missile di cui al punto (I) sia utilizzata per un ulteriore stadio, calcolare il valore del rapporto di massa necessario per raggiungere la prima velocità cosmica, ed il valore richiesto per lanciare un satellite su un'orbita circolare ad un'altezza .

Il problema precedente consiste, in altre parole, nel calcolare quali satelliti si possono lanciare aggiungendo un terzo stadio ad un missile balistico intercontinentale; questo problema era di grande attualità nell'ottobre del 1957, al momento del lancio di Sputnik I, il primo satellite artificiale.

Per una trattazione approfondita delle traiettorie dei missili balistici, si può consultare il libro di testo usato dalla United States Air Force Academy [Bate et al. 71].

Problema Ad una distanza di dal Sole, il flusso di radiazione elettromagnetica dal Sole ha un'intensità (la cosiddetta costante solare  ). La quantità di moto p trasportata dalla luce p è legata all'energia E contenuta nella luce stessa da E=pc (dove è la velocità della luce): ne segue che una superficie perfettamente riflettente ortogonale al flusso (situazione in cui il momento scambiato con la radiazione raddoppia), la cui area sia A, riceve una spinta pari a

(I)

Calcolare quale dovrebbe essere il rapporto area/massa A/m di un veicolo spaziale a vela solare   per il quale l'accelerazione dovuta alla pressione di radiazione sia dell'accelerazione dovuta all'attrazione del Sole. Calcolare lo spessore che dovrebbe avere la vela, supponendo la densità 1.

(II)

Quale sarebbe l'orbita di un simile veicolo spaziale, se la vela fosse dispiegata a partire da un'orbita simile a quella della Terra con ? Sarebbe possibile impiegare un simile veicolo per la navigazione interplanetaria, controllando l'angolo formato dalla vela con il flusso di radiazione solare ?