7.4 ANGOLI DI EULERO

 

Sommario Il moto di un corpo rigido soggetto a forze esterne (con energia potenziale data) ammette una formulazione lagrangiana e hamiltoniana, che si ricava dalla parametrizzazione del gruppo delle rotazioni con coordinate lagrangiane. Questo problema non è in generale integrabile; diventa integrabile sotto ipotesi di simmetria. Una trottola con ellissoide d'inerzia simmetrico per rotazione attorno ad un asse, sottoposta a forze esterne il cui potenziale dipenda solo dalla posizione dell'asse di simmetria, ha un moto integrabile, che può essere calcolato mediante quadrature ed inversioni.

Parametrizzare una rotazione

Per poter utilizzare il formalismo lagrangiano (e hamiltoniano) nel problema del corpo rigido, occorre parametrizzare il gruppo SO(3) delle rotazioni con tre coordinate lagrangiane. Benché questo sia possibile in molti modi, il metodo classico è l'uso degli angoli di Eulero, che sono definiti a partire da una terna ortonormale di vettori nel sistema inerziale 

e da una terna ortonormale di vettori nel sistema fisso con il corpo

La retta intersezione del piano (x,y) (definito da ) con il piano (definito da ) è la linea dei nodi  . Dei due versori diretti lungo la linea dei nodi, chiamiamo N quello che punta verso il nodo ascendente , il cui verso è definito dal prodotto vettore .

La rotazione (dipendente dal tempo) R=R(t) che manda le coordinate fisse con il corpo in quelle inerziali:

si può descrivere R come composizione di tre rotazioni (ciascuna dipendente dal tempo). Usiamo sempre la notazione per una rotazione attorno all'asse V di un angolo |V| (e con verso antiorario visto dalla testa di V).

 
Figure 7.9:  Gli angoli di Eulero di una rotazione.

(1)

rotazione di un angolo attorno all'asse , fino a mandare nel versore N del nodo ascendente ( );

(2)

rotazione di un angolo intorno all'asse N dei nodi, fino a mandare in ( );

(3)

rotazione di un angolo attorno all'asse , fino a mandare N in ( ).

Gli angoli di Eulero   della rotazione R sono . Si noti che e sono veramente variabili angolo , mentre può variare solo nell'intervallo .

Tra gli elementi orbitali  di un'orbita del problema dei due corpi, sono gli angoli di Eulero che mandano il riferimento ortonormale dato in una terna ortonormale con primo asse lungo il vettore di Laplace-Lenz  e terzo asse lungo il vettore momento angolare. I non è una variabile angolo.

La matrice R si decompone nelle tre rotazioni

ma occorre capire in quale sequenza queste rotazioni vanno eseguite. Teniamo presente che la matrice di rotazione delle coordinate è l'inversa della matrice di rotazione degli assi, e che dobbiamo passare dalle coordinate fisse nel corpo Q a quelle inerziali X. La prima operazione da eseguire è quindi la rotazione dell'angolo attorno a , che è l'inversa della rotazione che manda in N; poi la rotazione dell'angolo attorno ad N, l'inversa della rotazione che manda in ; infine la rotazione di attorno ad , l'inversa della rotazione che manda N in . In conclusione, eseguendo la composizione delle rotazioni per moltiplicazione delle matrici a destra, come sempre accade per le trasformazioni lineari:

Se vogliamo scrivere esplicitamente le matrici: la rotazione lascia fisso l'asse , quindi è data da

mentre la rotazione è la rotazione attorno al primo al momento in cui viene eseguita) asse coordinato, quindi

infine è la rotazione attorno al terzo (al momento in cui viene eseguita) asse coordinato, quindi

Eseguendo il prodotto di matrici si può ottenere la formula esplicita della parametrizzazione del gruppo SO(3) delle rotazioni, a cui appartiene R, con gli angoli di Eulero. Omettiamo questo calcolo perché la formula che ne risulta è complicata, e non conviene usarla direttamente.

Per poter usare il formalismo lagrangiano occorre non solo disporre delle coordinate lagrangiane , ma anche saper scrivere - come espressione analitica esplicita - la lagrangiana  in funzione delle sei variabili . Noi conosciamo un'espressione dell'energia cinetica in funzione di , il vettore velocità angolare in coordinate fisse con il corpo: occorre trovare le formule analitiche che legano queste variabili.

Teorema della lagrangiana del corpo rigido :  Se un corpo rigido ruota con velocità angolare (nelle coordinate fisse con il corpo) fra e gli angoli di Eulero , intercorre la relazione

Dimostrazione:

Per la regola della velocità angolare , nel caso in cui non ci sia moto di traslazione si ha



da cui si ricava



Allora è il vettore assiale  associato alla matrice antisimmetrica . Per calcolare quest'ultima, osserviamo che



e calcoliamo - con la regola di Leibnitz per le matrici - la derivata del prodotto:



Moltiplichiamo tra loro le ultime due formule, semplificando:



Cominciamo il ragionamento con il termine più semplice, che è l'ultimo. Per il teorema delle rotazioni infinitesimali , ogni matrice di rotazione è esprimibile come esponenziale di una matrice antisimmetrica; nel caso di una rotazione attorno ad uno degli assi coordinati come per , è facile trovare la matrice antisimmetrica:



Allora, per il teorema di derivazione dell'esponenziale ,



la derivata rispetto a t si ottiene da questa formula semplicemente moltiplicando per . In conclusione, il terzo termine di è



ed il corrispondente contributo al vettore è . In modo del tutto analogo



Però i contributi di questi due termini ad sono un po' più complicati, perché in appaiono coniugati con rotazioni. Anche se si potrebbero eseguire le 6 moltiplicazioni di matrice richieste, è conveniente sfruttare a fondo l'identificazione tra matrice antisimmetrica e vettore assiale .

Lemma:

Se è il vettore assiale  della matrice antisimmetrica S, cioè se per ogni vettore



allora, per ogni rotazione , è il vettore assiale della matrice coniugata di S tramite :



Dimostrazione del lemma:



Il lemma asserisce che il vettore assiale (ottenuto da una matrice antisimmetrica disponendo i coefficienti non nulli della matrice in un certo ordine) si trasforma come un vettore ``normale'' per effetto di un cambiamento ortogonale di sistema di coordinate cartesiane.

C.D.D. lemma

Ora possiamo trasformare la formula per la matrice antisimmetrica



nella formula per il vettore assiale corrispondente :



e calcolando si ottiene la tesi:

 C.D.D.

Grazie al teorema appena dimostrato, possiamo esprimere in funzione degli angoli di Eulero e delle loro derivate la velocità angolare e quindi l'energia cinetica (rispetto al centro di massa, o con centro di massa fisso) . Supponendo che siano le coordinate rispetto agli assi d'inerzia  (che significa che la terna è formata dai versori degli assi d'inerzia), si ha

dove sono i momenti principali d'inerzia. Se il moto è libero, oppure se le forze esterne ammettono un'energia potenziale , questo consente di scrivere la lagrangiana  del moto di rotazione (riferito al centro di massa, o con centro di massa fisso) come

e di ricavare le equazioni di Lagrange  (oppure, previa trasformata di Legendre , le equazioni di Hamilton ).

Momento angolare

Possiamo ora completare la dimostrazione del teorema del momento angolare , utilizzando gli angoli di Eulero come parametrizzazione esplicita dello spazio delle configurazioni SO(3) del corpo rigido con centro di massa fisso. Si noti che l'argomentazione che segue si applica indifferentemente al caso del corpo rigido discreto o continuo.

L'angolo , variabile ciclica per la lagrangiana , fornisce infatti un integrale primo dato da

che coincide con la proiezione lungo del momento angolare C del corpo, come si verifica calcolando

dove si è tenuto conto che

può essere scelto arbitrariamente nel riferimento inerziale per definire gli angoli di Eulero; per ogni scelta, non dipende da , quindi non dipende da ; si ricava che è costante la componente di C rispetto a un asse qualsiasi, cioè che C è un vettore di integrali primi.

Rotore simmetrico

La lagrangiana del moto di rotazione del corpo rigido è abbastanza complicata, avendo tre gradi di libertà; in generale darà luogo ad un problema non integrabile . Ci sono però dei casi particolari integrabili , tra cui abbiamo già trattato il caso libero, ossia con energia potenziale nulla.

Un altro caso integrabile è quello del rotore simmetrico  , ossia con ellissoide d'inerzia biassiale e con potenziale dipendente solo dall'angolo di Eulero ; in tal caso , e la formula dell'energia cinetica si semplifica molto:

Ci sono due variabili cicliche  , e i corrispondenti momenti sono integrali primi:

è la componente del momento angolare (rispetto al centro di massa) lungo l'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia, mentre

come già visto, è la componente di lungo l'asse . Inoltre abbiamo l'integrale dell'energia , perciò il sistema è integrabile.

Eseguiamo la trasformata di Legendre , usando la formula della matrice inversa per trasformare la forma quadratica nelle velocità in quella nei momenti:

da cui si deduce la formula della hamiltoniana

che può essere interpretata come hamiltoniana ad un grado di libertà, con coordinata , momento , e due parametri costanti: e . Quindi il problema non solo è integrabile, ma può essere integrato usando soltanto operazioni di quadratura , come descritto nella Sezione 5.2.

Esercizio Svolgere tutti i passaggi della trasformazione di Legendre qua sopra.

Esercizio Verificare che i tre integrali primi sono in commutazione , e che hanno gradienti linearmente indipendenti, salvo se l'asse è esattamente lungo .

L'ipotesi equivale ad affermare che le forze esterne che hanno effetto sulla rotazione del corpo rigido dipendono solo dall'inclinazione . Per esempio questo si verifica se il corpo ha simmetria assiale , cioè densità che non dipende da , ed è soggetto ad un campo gravitazionale con potenziale dipendente soltanto di z.

Per esempio se supponiamo che l'energia potenziale sia della forma

con K>0, abbiamo il sistema ad un grado di libertà con hamiltoniana

 
Figure:  Soluzione del problema del rotore simmetrico: (a) potenziale effettivo W (b) curva di livello dell'energia nel problema ridotto ad un grado di libertà (c) soluzione nel piano dei primi due angoli di Eulero (d) intersezione dell'asse di rotazione con una sfera.

Trascuriamo il termine costante , ponendo . Lo studio qualitativo delle soluzioni, per un dato valore degli integrali e , si ottiene come al solito studiando la funzione energia potenziale effettiva 

Lo studio qualitativo è molto semplice, poiché in ogni caso (tranne che per )

quindi ha un minimo . Si può verificare che l'insieme dei per cui è sempre un intervallo per ogni : ponendo , si ha

che è verificata se e solo se (moltiplicando per il denominatore che è >0)

Il polinomio di terzo grado g(u) ha coefficiente di grado massimo <0, e inoltre ; deve perciò avere una radice >1, ed al più altre due radici reali, che sono entrambe interne o entrambe esterne all'intervallo [-1,1]: la diseguaglianza sarà soddisfatta sull'intervallo limitato da queste due radici.

Problema Discutere i casi e in cui lo studio qualitativo ha un caso eccezionale.

Suggerimento: Tenere conto del fatto che per e per gli angoli di Eulero non sono coordinate lagrangiane (le rotazioni ed non sono distinte, quindi le due variabili hanno gradienti linearmente dipendenti).

 
Figure 7.11:  Rotore simmetrico: la curva tracciata sulla sfera unitaria dal versore dell'asse di simmetria dell'ellissoide d'inerzia assume aspetti diversi a seconda del valore degli integrali primi; passando da a,b,c,d il valore degli integrali primi del momento angolare resta lo stesso, mentre l'energia diminuisce.

Le soluzioni del problema del rotore simmetrico, ottenute per quadratura , possono perciò essere descritte come segue (vedi figura 7.10). La variabile oscillerà tra un valore minimo ed un valore massimo (corrispondenti alle due radici del polinomio g(u)). L'inversa della legge oraria si ottiene dalla quadratura

Nota la soluzione , la soluzione si ricava da un'altra quadratura: ottenendo dagli integrali primi si ha

e sostituendo nell'integrale si giunge alla quadratura che dà :

Una soluzione dotata di proprietà particolari è quella che corrisponde al punto di minimo di , cioè . Allora il valore di resta costante, e così pure la frequenza di precessione e la velocità angolare di rotazione attorno all'asse di simmetria . Per valori di E' appena superiori a si hanno delle piccole oscillazioni di attorno al valore , e quindi anche il valore di e quello di oscillano attorno ad un valore medio. Se si traccia la figura descritta dal vettore sulla sfera unitaria, queste oscillazioni sovrapposte al moto di precessione media formano dei riccioli (Figura 7.11).

Trottola simmetrica

Un problema di moto del corpo rigido che è stato studiato intensamente, anche perché si presta ad una efficace verifica sperimentale, è quello della trottola pesante  . Per trottola si intende un rotore simmetrico, vincolato ad avere un punto fisso situato sull'asse di simmetria; questo punto però non coincide con il centro di massa, per cui il peso del corpo rigido produce una coppia rispetto al punto di appoggio.

Intuitivamente, il punto fisso è un estremo di un asta, coincidente con l'asse di simmetria, appoggiato su di un piano in modo da consentire i movimenti di rotazione attorno ad esso. Negli esperimenti pratici con le trottole, è bene tenere conto del fatto che un appoggio senza attrito è un'astrazione matematica; in pratica la trottola avrà dei movimenti irregolari di traslazione dovuti anche all'attrito fra il piano e l'asse di rotazione nel punto di appoggio: in questo consiste il gioco della trottola, che non si sa mai dove va a finire. Se però si osserva soltanto il moto rispetto al punto di appoggio, il modello matematico qui presentato risulta notevolmente aderente alla realtà del semplice esperimento fisico.

Per formalizzare il problema occorre ricalcolare l'energia cinetica del corpo rigido W con densità , assumendo che il punto fisso non sia il centro di massa, ma sia l'origine delle coordinate fisse con il corpo Q, e delle coordinate inerziali X. Allora la velocità dovuta alla sola rotazione sarà

e l'energia cinetica, grazie all'assenza del termine di traslazione, sarà data da

in altre parole, l'energia cinetica potrà sempre essere definita come forma quadratica nella velocità angolare , mediante un tensore d'inerzia  I. Tuttavia il tensore d'inerzia rispetto al punto d'appoggio non è il tensore d'inerzia rispetto al centro di massa.

Teorema di Steiner :  Fra il tensore d'inerzia A rispetto al centro di massa ed il tensore d'inerzia B rispetto ad un punto qualsiasi intercorre la relazione

Dimostrazione:

Se Q sono le coordinate con origine nel punto , e Z sono le coordinate con origine nel centro di massa, allora Q=Z-V. Consideriamo l'espressione che appare nella definizione dell'energia cinetica, e quindi del tensore d'inerzia:



Allora l'energia cinetica è



In questa formula il secondo integrale concide con quello del centro di massa:



dove W' è W nel riferimento delle coordinate Z. Il terzo integrale è quello della massa totale , quindi l' energia cinetica si riduce a



per la definizione del tensore d'inerzia, la tesi è dimostrata.

 C.D.D.

Perciò per la trottola, il momento d'inerzia rispetto al punto di appoggio, che per ipotesi sta sull'asse d'inerzia con momento principale d'inerzia , ha momenti principali , dove è la distanza del centro di massa dal punto di appoggio. A parte la sostituzione dei momenti d'inerzia modificati, la lagrangiana della trottola è identica a quella del rotore simmetrico, quindi la soluzione è quella già descritta precedentemente.