5.1 SISTEMI NEWTONIANI E HAMILTONIANI

Sommario I sistemi hamiltoniani generalizzano quelli newtoniani, e sono caratterizzati dalla presenza di un integrale primo. Perciò nel caso di un solo grado di libertà la descrizione qualitativa delle soluzioni richiede soltanto lo studio di una funzione di due variabili, come nel caso newtoniano. Inoltre un sistema dinamico hamiltoniano è conservativo.

Sistemi newtoniani

Consideriamo un sistema newtoniano ad un grado di libertà

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} = f(x) \Longleftrightarrow \left\{\be... ...} & {\displaystyle=} &{\displaystyle f(x)} \end{array}\right.$$

con energia potenziale, energia cinetica ed energia totale:

$$V(x)=-\int\,f(x)\, dx \hspace{5mm},\hspace{5mm}T(y)=\frac 12\,y^2 \hspace{5mm},\hspace{5mm}E(x,y)=T(y)+V(x)\;.$$

Le equazioni del sistema dinamico corrispondente possono essere espresse in termini delle derivate dell'energia totale:

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot x} & {\displ... ...}=-\,\frac{\partial {V}}{\partial {x}}} \end{array}\right.\;.$$

Sistemi hamiltoniani

Questa forma delle equazioni si può generalizzare ad una qualsiasi funzione di due variabili, detta hamiltoniana $H(p,q)$: le equazioni di Hamilton definite da $H(p,q)$ sono quelle del sistema dinamico continuo

$$\left\{\begin{array}{lcr} {\displaystyle \dot p} & {\displ... ...om{-}\frac{\partial {H}}{\partial {p}}} \end{array}\right.\;.$$

Ogni sistema dinamico che si può porre in questa forma si dice sistema hamiltoniano ad un grado di libertà.

Proprietà:

In un sistema dinamico definito da equazioni di Hamilton a partire da una funzione hamiltoniana $H(p,q)$ (indipendente dal tempo), la hamiltoniana stessa è un integrale primo.

Infatti la derivata totale di $H$ è


$$\dot H(p,q)= \frac{\partial {H}}{\partial {p}}\,\dot p + \f... ...ial {H}}{\partial {q}}\, \frac{\partial {H}}{\partial {p}} =0$$



Se consideriamo il campo vettoriale gradiente $\nabla H(p,q)$ definito dalla funzione hamiltoniana, esso è in ogni punto perpendicolare al campo vettoriale che forma il secondo membro delle equazioni di Hamilton. Le regole dei segni sono tali che il campo vettoriale $(\dot p, \dot q)$ si ottiene dal gradiente $grad\, H$ mediante una rotazione di $+\pi/2$ (in senso antiorario).

Un modo più sintetico di scrivere le equazioni di Hamilton fa uso della matrice di tipo $2\times 2$ già utilizzata come unità immaginaria nella rappresentazione matriciale dei numeri complessi (nella Sezione 2.4):

$$\frac d{d\,t}\, \left[\begin{array}{c}{p}\\ {q}\end{array}... ...eft[\begin{array}{cc}{0}&{-1}\\ {1}&{0}\end{array}\right]\;,$$

per cui si può riscrivere la derivata totale di $H(p,q)$ come

$$\dot H = (\nabla H)^T \, J\, \nabla H$$

che si annulla perché una matrice antisimmetrica definisce una forma quadratica nulla. Più in generale, data una qualunque funzione $G(p,q)$, la sua derivata totale si può descrivere con lo stesso metodo:

$$\dot G = (\nabla G)^T\, J \, \nabla H= \{G,H\}$$

dove il simbolo $\{G,H\}$ rappresenta la parentesi di Poisson che ha la proprietà di antisimmetria $\{H,G\} = -\{G,H\}$, è lineare in entrambi gli argomenti, e per tutte le funzioni $F,G,H$ di classe $C^2$ soddisfa all'identità di Jacobi $\{F,\{G,H\}\}+ \{G,\{H,F\}\} + \{H,\{F,G\}\}$.

Esempi di sistemi hamiltoniani

Esempio:

Se $H(p,q)=\omega\,(p^2+q^2)/2$, allora il sistema dinamico definito dalle equazioni di Hamilton è

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot p} & {\disp... ...splaystyle=} &{\displaystyle \omega p} \end{array}\right.\ ;$$


se si definisce la variabile complessa $z=p+Jq$, si può scrivere come un'equazione differenziale complessa $\dot z= \omega\,J\, z$.

Il flusso integrale è dato dalle rotazioni di un angolo $\omega\,t$, cioè in verso positivo (antiorario) se $\omega>0$.

Esempio:

Una funzione hamiltoniana $H(p,q)=T(p)$ produce un sistema dinamico

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot p} & {\disp... ...tyle=} &{\displaystyle \frac{d{T}}{d{p}}} \end{array}\right.$$


la cui soluzione con condizioni iniziali $(p_0,q_0)$ è semplicemente

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p(t)} & {\displa... ...\right.\hspace{5mm},\hspace{5mm}v_0=\frac{d{T}}{d{p}}(p_0)\;.$$



La hamiltoniana $H(p,q)=V(q)$ produce


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot p} & {\disp... ... q} & {\displaystyle=} &{\displaystyle 0} \end{array}\right.$$


la cui soluzione con condizioni iniziali $(p_0,q_0)$ è semplicemente

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p(t)} & {\displa... ...right.\hspace{5mm},\hspace{5mm}w_0=-\frac{d{V}}{d{q}}(q_0)\;.$$



In entrambi i casi, il flusso integrale è costituito soltanto da scorrimenti.

I metodi simplettici a scorrimento, metodi di integrazione numerica che approssimano un sistema hamiltoniano con $H(p,q)=T(p)+V(q)$ mediante composizione di scorrimenti, in sostanza alternano propagazioni della soluzione di $H(p,q)=T(p)$ con propagazioni della soluzione di $H(p,q)=V(q)$.

Esempio:

Per un corpo puntiforme di massa $m$, libero di muoversi lungo una retta con coordinata $q$, l'energia cinetica è data da $T=m\, \dot q^2\,/2$; se l'energia potenziale è $V(q)$, si può descrivere il moto mediante le equazioni di Hamilton con hamiltoniana

$$H(p,q)=\frac 1{2m}\, p^2 +V(q) \hspace{5mm},\hspace{5mm} \l... ...splaystyle=} &{\displaystyle \frac 1m\;p} \end{array}\right.$$


in cui il momento $p$ è definito dalla seconda equazione, cioè $p=m\,\dot q$.

Poiché la funzione hamiltoniana è un integrale primo, lo studio qualitativo del sistema dinamico è in sostanza lo stesso di quello del sistema newtoniano ad un grado di libertà $\ddot q= f(q)$ con $mf(q)=-dV/dq$, a parte il cambiamento di scala $p=m\,\dot q$.

Strettamente parlando c'è un'altra differenza tra i due sistemi dinamici: nel sistema dinamico definito dalle equazioni di Hamilton la prima variabile è $p$ e la seconda è $q$, quindi c'è un cambiamento di orientazione, che viene introdotto per ragioni di convenienza (per esempio, per far ruotare le soluzioni dell'oscillatore armonico in verso positivo).

Esempio:

Consideriamo la funzione hamiltoniana

$$H(p,q)=\frac{p^2}{2(1+q^2)}+\frac{g\,q^2}2$$


che genera le equazioni di Hamilton

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \dot p} & {\disp... ...aystyle=} &{\displaystyle \frac p{1+q^2}} \end{array}\right.$$



Questo esempio è un sistema hamiltoniano ma non un sistema newtoniano, almeno non in queste coordinate. Come si vedrà nella Sezione 5.4, questa hamiltoniana si può ottenere dalla lagrangiana di un moto vincolato alla curva $y=x^2/2$ nel piano $(x,y)$.

I sistemi hamiltoniani sono conservativi

La principale proprietà che contraddistingue i sistemi dinamici definiti da equazioni di Hamilton è che il relativo flusso integrale è conservativo:

Sia $H(p,q)$ una funzione di classe $C^2$. Se $(p(t),q(t))$ è la soluzione con condizione iniziale $(p_0,q_0)$, la trasformazione

$$\Phi^t\,:\;(p_0,q_0)\: \longmapsto\; (p(t),q(t))$$

conserva l'area, e questo per ogni $t\in {\bf R}$ per cui è definita. Dimostrazione:

Fissato $\delta t$, sia $(p_1,q_1)=(p(\delta t),q(\delta t))$. La condizione perché sia conservata l'area è che il determinante jacobiano sia identicamente uguale a 1:

$$det\,\frac{\partial {(p_1,q_1)}}{\partial {(p_0,q_0)}} =1\;.$$



Usiamo gli sviluppi di Taylor delle soluzioni


$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle p_1} & {\displayst... ...al {p}}(p_0,q_0)\, \delta t +o(\delta t)} \end{array}\right.$$


calcoliamo lo jacobiano

$$det\,\frac{\partial {(p_1,q_1)}}{\partial {(p_0,q_0)}} = ... ... {p}\,\partial{q}}(q_0,p_0)}\end{array}\right] + o(\delta t)$$


e sfruttando l'eguaglianza delle derivate miste si ottiene:

$$det\,\frac{\partial {(p_1,q_1)}}{\partial {(p_0,q_0)}}=1+o(\delta t)\;.$$



Descriviamo la propagazione dal tempo $0$ al tempo $t$ come il risultato di una sequenza di $N$ propagazioni per intervalli di tempo uguali a $\delta t=t/N$. La matrice jacobiana della propagazione da $0$ a $t$ è il prodotto di $N$ jacobiane. Quindi il determinante jacobiano del loro prodotto è il prodotto di $N$ jacobiani, ciascuno della forma $1+o(\delta t)$, e perciò vale $1+N\,o(1/N)$. Il limite per $N\to +\infty$ di questo prodotto di jacobiani è $1$. Questo prodotto però è lo jacobiano del propagatore da $0$ ad $t$, che è un numero indipendente da $N$, quindi per avere limite 1 deve essere esattamente $1$.

 C.D.D.